1. Com base na Fórmula de Bresse, determine o diâmetro de uma adutora com vazão de 100 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá uma única informação e pede uma única coisa:
  • Dado: Q=100\\ \mathrm{L/s}.
  • Pedido: determinar o diâmetro de uma adutora usando a Fórmula de Bresse.
Informações importantes que NÃO foram fornecidas no enunciado (e que são necessárias para um valor numérico único):
  • a declividade (ou perda de carga por unidade de comprimento) i da tubulação (ou equivalentes: perda de carga admissível, rugosidade, etc.);
  • o fator de atrito de Darcy f (que depende do material, da rugosidade relativa e do regime de escoamento) — ou uma fórmula empírica equivalente (Manning, Hazen–Williams, etc.);
  • comprimento e detalhes construtivos podem afetar a escolha prática, mas para a relação básica Q versus D basta i e f.
Conclusão deste passo: com apenas Q não há como obter um único valor numérico para D. É preciso especificar (ou assumir) i e f. A seguir eu explico a teoria e mostro como obter D em função de Q,i,f; depois faço um exemplo numérico com valores típicos para ilustrar como aplicar na prova.

Passo 2

Fundamento físico e fórmula de base (rota de aula curta e prática).
  • Para escoamento permanente e uniforme numa tubulação cheia a perda de carga por unidade de comprimento é i (adimensional).
  • A equação de Darcy–Weisbach relaciona perda de carga e velocidade:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (g\approx9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
Se o escoamento é uniforme, a perda por unidade de comprimento é i=h_f/L. Substituindo:
i = f\,\frac{V^2}{2gD}.
Explicando a lógica: essa equação diz que a inclinação hidráulica necessária para vencer o atrito cresce com o quadrado da velocidade e decresce com o diâmetro.

Passo 3

Relacionar vazão Q com D. Use Q = A V e A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Primeiro isolamos V na equação do passo anterior:
V = \sqrt{\dfrac{2g D i}{f}}.
  • Agora Q = A V
Q = \dfrac{\pi D^2}{4}\,\sqrt{\dfrac{2g D i}{f}}.
  • Reorganizando a potência de D:
Q = \dfrac{\pi}{4}\,\sqrt{\dfrac{2g i}{f}}\,D^{5/2}.
Esta é a relação fundamental (do tipo Q = C\,D^{5/2}) que permite encontrar D conhecendo Q, i e f.

Passo 4

Isolar D explicitamente para usar na prova:
  • A partir de
Q = \dfrac{\pi}{4}\,\sqrt{\dfrac{2g i}{f}}\,D^{5/2},
temos
D^{5/2} = \dfrac{4Q}{\pi}\,\sqrt{\dfrac{f}{2g i}}.
  • Tomando potência 2/5,
\boxed{D=\left(\dfrac{4Q}{\pi}\,\sqrt{\dfrac{f}{2g i}}\right)^{2/5}.}
Explicação didática: essa expressão é a forma que você deve usar na prova. Note que D cresce com Q (como potência 2/5) e depende também de i e f: quanto maior a inclinação i (mais “força” disponível), menor o diâmetro necessário; quanto maior o atrito f, maior o diâmetro necessário.

Passo 5

Conversão de unidades e preparação para cálculo (detalhe importante em prova).
  • Converter Q para unidades SI: Q=100\\ \mathrm{L/s}=0{,}1\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Use g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Escolha (ou justifique) valores de f e i. Em provas é comum que:
    • seja fornecido i ou uma perda admissível; se não for, costuma-se assumir uma inclinação típica (ex.: i=10^{-3} ou i=5\cdot10^{-4});
    • para \emph{f} pode-se usar um valor representativo para tubulações novas: por exemplo f\approx0{,}02 para materiais comuns (a estimativa real vem do diagrama de Moody ou da equação de Colebrook). Sempre justifique a escolha em prova.

Passo 6

Cálculo numérico de exemplo (mostra passo a passo aritmético, tome cuidado com cada operação).
Vamos calcular um exemplo prático assumindo:
  • Q=0{,}1\\ \mathrm{m^3/s},
  • i=0{,}001,
  • f=0{,}02,
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  1. Calcular 2 g i:
2 g i = 2\cdot9{,}81\cdot0{,}001 = 0{,}01962.
  1. Calcular \dfrac{f}{2 g i}:
\dfrac{f}{2 g i} = \dfrac{0{,}02}{0{,}01962}\approx1{,}01937.
  1. Raiz quadrada:
\sqrt{\dfrac{f}{2 g i}} \approx \sqrt{1{,}01937}\approx1{,}00965.
  1. Calcular \dfrac{4Q}{\pi}:
\dfrac{4Q}{\pi} = \dfrac{4\cdot0{,}1}{\pi}\approx\dfrac{0{,}4}{3{,}1416}\approx0{,}127324.
  1. Produto interno (argumento da potência):
\frac{4Q}{\pi}\,\sqrt{\dfrac{f}{2 g i}}\approx0{,}127324\cdot1{,}00965\approx0{,}128558.
  1. Aplicar potência 2/5 (ou 0{,}4):
D = (0{,}128558)^{0{,}4}.
Uma maneira prática (sem calculadora de alta precisão) é usar logaritmos ou uma calculadora; aqui deixo o cálculo numérico final:
D\approx0{,}44\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: área A=\dfrac{\pi D^2}{4}\approx0{,}152\\ \mathrm{m^2}, velocidade V=Q/A\approx0{,}1/0{,}152\approx0{,}66\\ \mathrm{m/s} — valores coerentes com escoamento em adutora.

Passo 7

Comentários finais de projeto e de prova (dicas práticas e o que o examinador costuma esperar).
  • Em provas: apresente a fórmula geral (Passo 4), diga que é preciso i e f, e então, se não deram, justifique a hipótese (ex.: “assumo i=10^{-3} e f=0{,}02 por serem valores típicos para adutora urbana nova”) e efetue as contas como no exemplo.
  • Na prática de engenharia: escolha f por iteração (usando Colebrook/Moody) já que f depende de Reynolds e rugosidade relativa; mas para provas o valor típico fixo costuma ser aceito.
  • Alternativas: alguns professores pedem uso direto de fórmulas empíricas históricas (Fórmula de Bresse no formato empírico), mas elas têm a mesma estrutura Q\propto D^{\alpha}\sqrt{i}. O procedimento geral mostrado (baseado em Darcy–Weisbach) é robusto e coberto em provas.

Resposta

Não é possível determinar numericamentemente D apenas com Q=100\\ \mathrm{L/s} sem especificar a declividade i e o fator de atrito f.
Exemplo numérico (assumindo i=0{,}001 e f=0{,}02): D\approx0{,}44\\ \mathrm{m}.

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