- Com base na Fórmula de Bresse, determine o diâmetro de uma adutora com vazão de
.
Passo 1
O enunciado dá uma única informação e pede uma única coisa:
- Dado:
. - Pedido: determinar o diâmetro de uma adutora usando a Fórmula de Bresse.
Informações importantes que NÃO foram fornecidas no enunciado (e que são necessárias para um valor numérico único):
- a declividade (ou perda de carga por unidade de comprimento)
da tubulação (ou equivalentes: perda de carga admissível, rugosidade, etc.); - o fator de atrito de Darcy
(que depende do material, da rugosidade relativa e do regime de escoamento) — ou uma fórmula empírica equivalente (Manning, Hazen–Williams, etc.); - comprimento e detalhes construtivos podem afetar a escolha prática, mas para a relação básica
versus basta e .
Conclusão deste passo: com apenas
não há como obter um único valor numérico para
. É preciso especificar (ou assumir)
e
. A seguir eu explico a teoria e mostro como obter
em função de
; depois faço um exemplo numérico com valores típicos para ilustrar como aplicar na prova.
Passo 2
Fundamento físico e fórmula de base (rota de aula curta e prática).
- Para escoamento permanente e uniforme numa tubulação cheia a perda de carga por unidade de comprimento é
(adimensional). - A equação de Darcy–Weisbach relaciona perda de carga e velocidade:
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento (m), -
é o diâmetro (m), -
é a velocidade média (m/s), -
é a aceleração da gravidade .
Se o escoamento é uniforme, a perda por unidade de comprimento é
. Substituindo:
Explicando a lógica: essa equação diz que a inclinação hidráulica necessária para vencer o atrito cresce com o quadrado da velocidade e decresce com o diâmetro.
Passo 3
Relacionar vazão
com
. Use
e
.
- Primeiro isolamos
na equação do passo anterior:
- Agora
dá
- Reorganizando a potência de
:
Esta é a relação fundamental (do tipo
) que permite encontrar
conhecendo
,
e
.
Passo 4
Isolar
explicitamente para usar na prova:
- A partir de
temos
- Tomando potência
,
Explicação didática: essa expressão é a forma que você deve usar na prova. Note que
cresce com
(como potência
) e depende também de
e
: quanto maior a inclinação
(mais “força” disponível), menor o diâmetro necessário; quanto maior o atrito
, maior o diâmetro necessário.
Passo 5
Conversão de unidades e preparação para cálculo (detalhe importante em prova).
- Converter
para unidades SI: . - Use
. - Escolha (ou justifique) valores de
e . Em provas é comum que: - seja fornecido
ou uma perda admissível; se não for, costuma-se assumir uma inclinação típica (ex.: ou ); - para \emph{f} pode-se usar um valor representativo para tubulações novas: por exemplo
para materiais comuns (a estimativa real vem do diagrama de Moody ou da equação de Colebrook). Sempre justifique a escolha em prova.
- seja fornecido
Passo 6
Cálculo numérico de exemplo (mostra passo a passo aritmético, tome cuidado com cada operação).
Vamos calcular um exemplo prático assumindo:
Vamos calcular um exemplo prático assumindo:
-
, -
, -
, -
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Raiz quadrada:
- Calcular
:
- Produto interno (argumento da potência):
- Aplicar potência
(ou ):
Uma maneira prática (sem calculadora de alta precisão) é usar logaritmos ou uma calculadora; aqui deixo o cálculo numérico final:
Verificação rápida: área
, velocidade
— valores coerentes com escoamento em adutora.
Passo 7
Comentários finais de projeto e de prova (dicas práticas e o que o examinador costuma esperar).
- Em provas: apresente a fórmula geral (Passo 4), diga que é preciso
e , e então, se não deram, justifique a hipótese (ex.: “assumo e por serem valores típicos para adutora urbana nova”) e efetue as contas como no exemplo. - Na prática de engenharia: escolha
por iteração (usando Colebrook/Moody) já que depende de Reynolds e rugosidade relativa; mas para provas o valor típico fixo costuma ser aceito. - Alternativas: alguns professores pedem uso direto de fórmulas empíricas históricas (Fórmula de Bresse no formato empírico), mas elas têm a mesma estrutura
. O procedimento geral mostrado (baseado em Darcy–Weisbach) é robusto e coberto em provas.
Resposta
Não é possível determinar numericamentemente
apenas com
sem especificar a declividade
e o fator de atrito
.
Exemplo numérico (assumindo e
):
.
Exemplo numérico (assumindo