Um reator nuclear moderado a grafite, o calor é gerado uniformemente nas barras de urânio de 0,05 m de diâmetro, a uma taxa de 7,5 \times 10^{7} W / m^{3}. Essas barras são envolvidas por um anel na qual a água, a uma temperatura media de 120^{\circ} \mathrm{C}, é colocada para resfriar as barras com um coeficiente de convecção h=55000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Se k_{\text {uranio }}=29 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, determine a temperatura no centro das barras. (\mathbf{2}, \mathbf{5})

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura no centro das barras:
  • Diâmetro da barra: 0{,}05\\ \mathrm{m}. Então o raio externo é \;r_o=\dfrac{0{,}05}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Geração volumétrica de calor (uniforme nas barras): \;q'''=7{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Temperatura média da água (fluido de resfriamento): \;T_\infty=120^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção na superfície da barra: \;h=55\,000\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • Condutividade térmica do urânio: \;k=29\\ \mathrm{W/(mK)}.
O que se pede: determinar a temperatura no centro da barra, isto é \;T(0).

Passo 2

Modelo físico e equações: vamos assumir regime steady-state (estado estacionário), propriedades constantes e que o problema é simétrico em torno do eixo da barra (uma barra longa, sem efeito das extremidades). Assim o problema reduz-se ao espalhamento radial unidimensional em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica constante. A equação de condução em coordenada radial é:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{q'''}{k}=0.
Explicando cada termo:
  • r é a coordenada radial (m).
  • T(r) é a temperatura em função de r (K ou °C, aqui usaremos °C).
  • q''' é a geração volumétrica (W/m³).
  • k é a condutividade térmica (W/mK).
Condições de contorno:
  • Simetria no centro: a derivada radial deve ser finita e por simetria \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0.
  • Na superfície r=r_o há convecção com o fluido: -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_o}=h\left(T(r_o)-T_\infty\right).

Passo 3

Integração da equação diferencial (passo a passo):
Começo da equação:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q'''}{k}.
Multiplicando por r e integrando em relação a r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q'''}{k}r \quad\Rightarrow\quad r\frac{dT}{dr}=-\frac{q'''}{2k}r^{2}+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r (para r>0):
\frac{dT}{dr}=-\frac{q'''}{2k}r+\frac{C_1}{r}.
Para que \dfrac{dT}{dr} seja finito em r\to0 e pela simetria, devemos ter C_1=0. Assim:
\frac{dT}{dr}=-\frac{q'''}{2k}r.
Integrando novamente:
T(r)=-\frac{q'''}{4k}r^{2}+C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Note que T(0)=C_2, ou seja o valor no centro é exatamente C_2.

Passo 4

Aplicar a condição de convecção na superfície r=r_o.
Primeiro calcule a derivada na superfície:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_o}=-\frac{q'''}{2k}r_o.
Fluxo condutivo na superfície (positivo para fora) é
q''_\text{cond}=-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_o}= -k\left(-\frac{q'''}{2k}r_o\right)=\frac{q'''\,r_o}{2}.
Pela condição de convecção esse fluxo deve ser igual ao fluxo convectivo:
\frac{q'''\,r_o}{2}=h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
Logo a temperatura na superfície T(r_o) (vou chamar T_s) é
T_s=T(r_o)=T_\infty+\frac{q'''\,r_o}{2h}.
Física rápida: a expressão mostra que a queda de temperatura entre fluido e superfície vem do balanço entre geração dentro da seção (que produz fluxo \tfrac{q'''r_o}{2}) e a habilidade do fluido de retirar calor ( h).

Passo 5

Expressar a temperatura no centro usando T_s. Da solução geral:
T(0)=C_2=T_s+\frac{q'''}{4k}r_o^{2}.
Substituindo T_s obtém-se a fórmula final conveniente:
\boxed{\,T(0)=T_\infty+\frac{q'''\,r_o}{2h}+\frac{q'''\,r_o^{2}}{4k}\,}
Essa fórmula tem três termos:
  • T_\infty: temperatura do fluido.
  • \dfrac{q''' r_o}{2h}: acréscimo devido à resistência convectiva na superfície.
  • \dfrac{q''' r_o^{2}}{4k}: acréscimo devido à condução dentro do sólido (gradiente radial).

Passo 6

Agora substituímos números. Primeiro recapitular r_o=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Cálculo do termo convectivo:
\frac{q'''\,r_o}{2h}=\frac{7{,}5\times10^{7}\cdot0{,}025}{2\cdot55\,000} =\frac{1{,}875\times10^{6}}{110\,000}=17{,}04545\ldots\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Cálculo do termo de condução interno:
\frac{q'''\,r_o^{2}}{4k} =\frac{7{,}5\times10^{7}\cdot(0{,}025)^{2}}{4\cdot29} =\frac{7{,}5\times10^{7}\cdot0{,}000625}{116} =\frac{46\,875}{116}=404{,}0948\ldots\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Somando tudo:
T(0)=120^\circ\mathrm{C}+17{,}04545\\ \mathrm{K}+404{,}0948\\ \mathrm{K}=541{,}1403\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas decimais é suficiente aqui):
T(0)\approx541{,}14^\circ\mathrm{C}.
Força — é um número alto, mas faz sentido: a geração volumétrica é muito grande e a resistência térmica do combustível (mesmo com h elevado) leva a uma temperatura central bem acima da temperatura do refrigerante.

Resposta

\;541{,}14^\circ\mathrm{C}

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