Um reator nuclear moderado a grafite, o calor é gerado uniformemente nas barras de urânio de 0,05 m de diâmetro, a uma taxa de 7,5 \times 10^{7} W / m^{3}. Essas barras são envolvidas por um anel na qual a água, a uma temperatura media de 120^{\circ} \mathrm{C}, é colocada para resfriar as barras com um coeficiente de convecção h=55000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Se k_{\text {uranio }}=29 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, determine a temperatura no centro das barras. (\mathbf{2}, \mathbf{5})
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura no centro das barras:
Diâmetro da barra: 0{,}05\\ \mathrm{m}. Então o raio externo é \;r_o=\dfrac{0{,}05}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Geração volumétrica de calor (uniforme nas barras): \;q'''=7{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Temperatura média da água (fluido de resfriamento): \;T_\infty=120^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção na superfície da barra: \;h=55\,000\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
Condutividade térmica do urânio: \;k=29\\ \mathrm{W/(mK)}.
O que se pede: determinar a temperatura no centro da barra, isto é \;T(0).
Passo 2
Modelo físico e equações: vamos assumir regime steady-state (estado estacionário), propriedades constantes e que o problema é simétrico em torno do eixo da barra (uma barra longa, sem efeito das extremidades). Assim o problema reduz-se ao espalhamento radial unidimensional em coordenadas cilíndricas com geração volumétrica constante. A equação de condução em coordenada radial é:
Pela condição de convecção esse fluxo deve ser igual ao fluxo convectivo:
\frac{q'''\,r_o}{2}=h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
Logo a temperatura na superfície T(r_o) (vou chamar T_s) é
T_s=T(r_o)=T_\infty+\frac{q'''\,r_o}{2h}.
Física rápida: a expressão mostra que a queda de temperatura entre fluido e superfície vem do balanço entre geração dentro da seção (que produz fluxo \tfrac{q'''r_o}{2}) e a habilidade do fluido de retirar calor (h).
Passo 5
Expressar a temperatura no centro usando T_s. Da solução geral:
T(0)=C_2=T_s+\frac{q'''}{4k}r_o^{2}.
Substituindo T_s obtém-se a fórmula final conveniente:
Arredondando para uma precisão razoável (duas casas decimais é suficiente aqui):
T(0)\approx541{,}14^\circ\mathrm{C}.
Força — é um número alto, mas faz sentido: a geração volumétrica é muito grande e a resistência térmica do combustível (mesmo com h elevado) leva a uma temperatura central bem acima da temperatura do refrigerante.