Com base nesse teorema determinar:
(b) o intervalo em que o problema de valor inicial dado tem uma única solução (sem resolvê-lo):
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+\left(t^{2}+3\right) y^{\prime}+2 y=\cos t \\\ y(2)=y_{0}, \quad y^{\prime}(2)=y_{0}^{\prime} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \left(t^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+\left(t^{2}+3\right) y^{\prime}+2 y=\cos t,\\[4pt] y(2)=y_{0},\quad y^{\prime}(2)=y_{0}^{\prime}. \end{array}\right.
Pergunta: determinar o intervalo em que, com base no teorema (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem), o PVI tem única solução — sem resolver a EDO. Informações relevantes dadas: coeficientes dependem de t e o ponto inicial é t_{0}=2.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a EDO na forma padrão (dividindo pelo coeficiente de y'', isto é, por t^{2}-4), desde que esse coeficiente seja diferente de zero:
y''+\frac{t^{2}+3}{t^{2}-4}\,y'+\frac{2}{t^{2}-4}\,y=\frac{\cos t}{t^{2}-4}.
Aqui eu chamo
p(t)=\frac{t^{2}+3}{t^{2}-4},\qquad q(t)=\frac{2}{t^{2}-4},\qquad r(t)=\frac{\cos t}{t^{2}-4}.

Passo 3

Explicar o condicionamento do teorema: para garantir existência e unicidade do PVI num intervalo aberto I contendo t_{0}, precisamos que as funções p(t), q(t) e r(t) sejam contínuas em I. No nosso caso essas funções têm denominação t^{2}-4, então elas ficam indefinidas onde t^{2}-4=0.

Passo 4

Determinar os pontos problemáticos: resolver t^{2}-4=0 t=\pm 2. Logo p(t), q(t) e r(t) são contínuas em qualquer intervalo que não contenha t=\pm 2, e são descontinuas (não definidas) em t=\pm 2. Em particular o coeficiente original de y'' é zero em t=\pm 2, logo t=\pm 2 são pontos singulares (não regulares para aplicar diretamente o teorema padrão).

Passo 5

Aplicando o teorema ao nosso PVI: como o ponto inicial fornecido é t_{0}=2, percebemos que t_{0} é exatamente um ponto onde o coeficiente de y'' se anula e p,q,r não são definidos. Portanto as hipóteses do teorema (continuidade das funções na vizinhança de t_{0}) não se verificam em nenhum intervalo aberto que contenha t_{0}=2.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática: o teorema clássico de existência e unicidade para EDOs lineares garante única solução apenas em intervalos onde t\neq\pm 2. Os intervalos máximos em que os coeficientes são contínuos são
(-\infty,-2),\quad (-2,2),\quad (2,\infty).
Mas como o ponto inicial é t_{0}=2 (um ponto singular), não existe nenhum intervalo aberto que contenha 2 onde as hipóteses do teorema sejam satisfeitas — portanto o teorema não garante existência nem unicidade de solução passando por t=2.

Resposta

Nenhum intervalo aberto contendo 2; as hipóteses do teorema valem apenas em intervalos onde t\neq\pm 2, por exemplo (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty), mas nenhum desses contém 2.

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