Com base nesse teorema determinar:
(b) o intervalo em que o problema de valor inicial dado tem uma única solução (sem resolvê-lo):
(b) o intervalo em que o problema de valor inicial dado tem uma única solução (sem resolvê-lo):
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Pergunta: determinar o intervalo em que, com base no teorema (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem), o PVI tem única solução — sem resolver a EDO. Informações relevantes dadas: coeficientes dependem de
e o ponto inicial é
.]
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a EDO na forma padrão (dividindo pelo coeficiente de
, isto é, por
), desde que esse coeficiente seja diferente de zero:
Aqui eu chamo
Passo 3
Explicar o condicionamento do teorema: para garantir existência e unicidade do PVI num intervalo aberto
contendo
, precisamos que as funções
,
e
sejam contínuas em
. No nosso caso essas funções têm denominação
, então elas ficam indefinidas onde
.
Passo 4
Determinar os pontos problemáticos: resolver
dá
. Logo
,
e
são contínuas em qualquer intervalo que não contenha
, e são descontinuas (não definidas) em
. Em particular o coeficiente original de
é zero em
, logo
são pontos singulares (não regulares para aplicar diretamente o teorema padrão).
Passo 5
Aplicando o teorema ao nosso PVI: como o ponto inicial fornecido é
, percebemos que
é exatamente um ponto onde o coeficiente de
se anula e
não são definidos. Portanto as hipóteses do teorema (continuidade das funções na vizinhança de
) não se verificam em nenhum intervalo aberto que contenha
.
Passo 6
Conclusão e interpretação prática: o teorema clássico de existência e unicidade para EDOs lineares garante única solução apenas em intervalos onde
. Os intervalos máximos em que os coeficientes são contínuos são
Mas como o ponto inicial é
(um ponto singular), não existe nenhum intervalo aberto que contenha
onde as hipóteses do teorema sejam satisfeitas — portanto o teorema não garante existência nem unicidade de solução passando por
.
Resposta
Nenhum intervalo aberto contendo
; as hipóteses do teorema valem apenas em intervalos onde
, por exemplo
,
e
, mas nenhum desses contém
.