Encontre a solução geral e resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0 \\\ y(\pi)=0 \\\ y^{\prime}(\pi)=3 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem y''+y'=0 e (2) resolver o problema de valor inicial (PVI) com as condições y(\pi)=0 e y'(\pi)=3.
Dados fornecidos: a equação diferencial y''+y'=0 e as condições iniciais y(\pi)=0, y'(\pi)=3.
Passo 2
Vamos entender qual é a técnica apropriada sem complicar: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), o método padrão é assumir uma solução exponencial y=e^{rx} e obter a equação característica. Isso funciona porque derivadas de exponenciais se reduzem a multiplicação por constantes, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para r. Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Assumindo y=e^{rx}, temos y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na equação y''+y'=0 obtemos a equação característica
r^2 + r = 0.
Passo 4
Resolvo a equação característica r^2+r=0 fatorando:
r(r+1)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-1. São duas raízes reais distintas.
Passo 5
Para duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da EDO homogênea é
Verificação rápida (opcional, mas bom para certeza): com y(x)=3 - 3 e^{\pi-x} temos y'(x)=3 e^{\pi-x} e y''(x)=-3 e^{\pi-x}. Então y''+y' = (-3 e^{\pi-x}) + (3 e^{\pi-x}) = 0, logo satisfaz a EDO, e em x=\pi dá y(\pi)=0, y'(\pi)=3 como pedido.