1. Encontre a solução geral e resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0 \\\ y(\pi)=0 \\\ y^{\prime}(\pi)=3 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem y''+y'=0 e (2) resolver o problema de valor inicial (PVI) com as condições y(\pi)=0 e y'(\pi)=3.
Dados fornecidos: a equação diferencial y''+y'=0 e as condições iniciais y(\pi)=0, y'(\pi)=3.

Passo 2

Vamos entender qual é a técnica apropriada sem complicar: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), o método padrão é assumir uma solução exponencial y=e^{rx} e obter a equação característica. Isso funciona porque derivadas de exponenciais se reduzem a multiplicação por constantes, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para r. Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Assumindo y=e^{rx}, temos y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na equação y''+y'=0 obtemos a equação característica
r^2 + r = 0.

Passo 4

Resolvo a equação característica r^2+r=0 fatorando:
r(r+1)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-1. São duas raízes reais distintas.

Passo 5

Para duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da EDO homogênea é
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Usando r_1=0 e r_2=-1 obtemos
y(x)=C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Preciso das derivadas para aplicar as condições iniciais. Derivando y(x)=C_1 + C_2 e^{-x} temos
y'(x) = -C_2 e^{-x}.

Passo 7

Agora aplico as condições em x=\pi.
Da condição y(\pi)=0:
C_1 + C_2 e^{-\pi} = 0.
Da condição y'(\pi)=3:
- C_2 e^{-\pi} = 3.

Passo 8

Resolvo o sistema para C_1 e C_2. Da segunda equação,
- C_2 e^{-\pi} = 3 \implies C_2 = -3 e^{\pi}.
Substituindo em C_1 + C_2 e^{-\pi}=0,
C_1 + (-3 e^{\pi}) e^{-\pi} = 0 \implies C_1 -3 = 0 \implies C_1 = 3.

Passo 9

Substituo C_1 e C_2 na solução geral:
y(x)=3 + (-3 e^{\pi}) e^{-x} = 3 - 3 e^{\pi-x}.
Uma forma mais compacta é
y(x)=3\bigl(1-e^{\pi-x}\bigr).

Passo 10

Verificação rápida (opcional, mas bom para certeza): com y(x)=3 - 3 e^{\pi-x} temos y'(x)=3 e^{\pi-x} e y''(x)=-3 e^{\pi-x}. Então y''+y' = (-3 e^{\pi-x}) + (3 e^{\pi-x}) = 0, logo satisfaz a EDO, e em x=\pi y(\pi)=0, y'(\pi)=3 como pedido.

Resposta

y(x)=3\bigl(1-e^{\pi-x}\bigr)

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