Com base nisso um professor prôpos a seus alunos na maratona de cálculo I I o seguinte problema: Sejam f, g: R longrightarrow R funções que admitem derivadas de 2 ordem contínuas tais que f assume um valor máximo local em t=2 e g assume um valor mínimo local em t=5. Considere h: R^2 longrightarrow R uma função de duas variáveis reais definida por h(x, y)=f(x)+g(y). Mostre que o ponto (2,5) é ponto crítico de h e, em seguinda, classifique-o.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções de variável real, f e g, com derivadas de segunda ordem contínuas. A função f atinge um máximo local em t=2 e g atinge um mínimo local em t=5. Definimos h(x,y)=f(x)+g(y) e queremos mostrar que (2,5) é ponto crítico de h e depois classificá-lo usando derivadas parciais de primeira e segunda ordem (gradiente e Hessiana).

Passo 2

Para achar os pontos críticos de h, calculamos as derivadas parciais de h. Como h(x,y)=f(x)+g(y), temos as derivadas parciais
partial hpartial x(x,y)=f'(x), partial hpartial y(x,y)=g'(y)
Como f tem máximo local em t=2, sabemos que f’(2)=0. E como g tem mínimo local em t=5, sabemos que g’(5)=0. Logo, o gradiente de h em (2,5) é nulo, nabla h(2,5)=(0,0), provando que (2,5) é ponto crítico.

Passo 3

Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana de h, que reúne as segundas derivadas parciais. Como não há termos mistos entre x e y em h, a Hessiana é diagonal:
Hh(x,y)= f''(x) & 0 0 & g''(y)
Em (2,5) temos f’’(2)<0 (já que f tem máximo em 2) e g’’(5)>0 (já que g tem mínimo em 5).

Passo 4

Uma vez que a Hessiana em (2,5) tem um autovalor negativo e um positivo, ela é indefinida. Um ponto crítico com Hessiana indefinida é classificado como ponto de sela.

Resposta

O ponto (2,5) é um ponto crítico e, pela indefinição da Hessiana, é um ponto de sela.

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