Com base nisso um professor prôpos a seus alunos na maratona de cálculo
o seguinte problema: Sejam
funções que admitem derivadas de 2 ordem contínuas tais que
assume um valor máximo local em
e
assume um valor mínimo local em
. Considere
uma função de duas variáveis reais definida por
. Mostre que o ponto
é ponto crítico de
e, em seguinda, classifique-o.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções de variável real, f e g, com derivadas de segunda ordem contínuas. A função f atinge um máximo local em t=2 e g atinge um mínimo local em t=5. Definimos h(x,y)=f(x)+g(y) e queremos mostrar que (2,5) é ponto crítico de h e depois classificá-lo usando derivadas parciais de primeira e segunda ordem (gradiente e Hessiana).
Passo 2
Para achar os pontos críticos de h, calculamos as derivadas parciais de h. Como h(x,y)=f(x)+g(y), temos as derivadas parciais
Como f tem máximo local em t=2, sabemos que f’(2)=0. E como g tem mínimo local em t=5, sabemos que g’(5)=0. Logo, o gradiente de h em (2,5) é nulo,
Passo 3
Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana de h, que reúne as segundas derivadas parciais. Como não há termos mistos entre x e y em h, a Hessiana é diagonal:
Em (2,5) temos f’’(2)<0 (já que f tem máximo em 2) e g’’(5)>0 (já que g tem mínimo em 5).
Passo 4
Uma vez que a Hessiana em (2,5) tem um autovalor negativo e um positivo, ela é indefinida. Um ponto crítico com Hessiana indefinida é classificado como ponto de sela.
Resposta
O ponto (2,5) é um ponto crítico e, pela indefinição da Hessiana, é um ponto de sela.