Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à(s) restrição(oes) dadas: f(x, y, z)=2 x+2 y+10 z ; x^2+ y^2+z^2=35

Passo 1

O enunciado pede pra achar os extremos da função f(x,y,z)=2x+2y+10z sujeita à restrição da esfera x^2+y^2+z^2=35. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é a ferramenta que nos diz que nabla f=lambdanabla g com g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-35.

Passo 2

Escrevendo as derivadas, temos:
nabla f=(2,,2,,10), nabla g=(2x,,2y,,2z)
O método exige resolver o sistema
2=2lambda x, 2=2lambda y, 10=2lambda z, x^2+y^2+z^2=35

Passo 3

Das primeiras três equações isolamos x,y,z em função de lambda:
x=1lambda, y=1lambda, z=102lambda=5lambda

Passo 4

Substituindo na restrição:
l(1lambdar)^2+l(1lambdar)^2+l(5lambdar)^2=35
Ou seja,
1+1+25lambda^2=35Longrightarrow27lambda^2=35Longrightarrowlambda^2=2735

Passo 5

Logo, lambda=pmraiz27/35. Para cada sinal de lambda temos um ponto crítico:
l(x,y,zr)=l(1lambda,1lambda,5lambdar)=pml(raiztfrac3527,raiztfrac3527,5raiztfrac3527r)

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos. Usando f=2x+2y+10z e o fato de todos os componentes trocarem de sinal juntos, obtemos:
f=2l(2cdot1lambda+5cdot5lambdar)=54lambda

Passo 7

Para lambda=+raiz27/35,
fmax=54raiz27/35=6raiz105,
e para lambda=-raiz27/35,
fmin=-6raiz105

Resposta

Valor máximo de f é 6raiz105 atingido em l(raiz35/27,raiz35/27,5raiz35/27r). Valor mínimo de f é -6raiz105 atingido no ponto oposto l(-raiz35/27,-raiz35/27,-5raiz35/27r).

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