Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à(s) restrição(oes) dadas:
Passo 1
O enunciado pede pra achar os extremos da função
sujeita à restrição da esfera
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é a ferramenta que nos diz que
com
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas, temos:
O método exige resolver o sistema
Passo 3
Das primeiras três equações isolamos
em função de
:
Passo 4
Substituindo na restrição:
Ou seja,
Passo 5
Logo,
. Para cada sinal de
temos um ponto crítico:
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos. Usando
e o fato de todos os componentes trocarem de sinal juntos, obtemos:
Passo 7
Para
,
e para
Resposta
Valor máximo de
é
atingido em
. Valor mínimo de
é
atingido no ponto oposto
.