A temperatura de um gás no ponto
é dada por
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção de
?
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação direcional da temperatura definida por G(x,y,z)=x²−5xy+y²z no ponto (1,2,3) na direção do vetor v=(2,1,4). Isso envolve o cálculo do gradiente de G e a projeção desse gradiente num vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Para achar o gradiente de G, calculamos as derivadas parciais:
∂G/∂x = 2x − 5y
∂G/∂y = −5x + 2yz
∂G/∂z = y²
Avalia em (1,2,3):
∂G/∂x(1,2,3)=2·1−5·2=−8
∂G/∂y(1,2,3)=−5·1+2·2·3=7
∂G/∂z(1,2,3)=2²=4
Logo, ∇G(1,2,3)=(−8,7,4).
∂G/∂x = 2x − 5y
∂G/∂y = −5x + 2yz
∂G/∂z = y²
Avalia em (1,2,3):
∂G/∂x(1,2,3)=2·1−5·2=−8
∂G/∂y(1,2,3)=−5·1+2·2·3=7
∂G/∂z(1,2,3)=2²=4
Logo, ∇G(1,2,3)=(−8,7,4).
Passo 3
O vetor unitário u na direção de v=(2,1,4) é dado por u=v/||v||. Primeiro ||v||=√(2²+1²+4²)=√21. Então u=(2,1,4)/√21.
Passo 4
A taxa de variação direcional é ∇G(1,2,3)·u, ou seja:
((-8,7,4)·(2,1,4))/√21 = (−16+7+16)/√21 = 7/√21
((-8,7,4)·(2,1,4))/√21 = (−16+7+16)/√21 = 7/√21