Com base nisso um professor prôpos a seus alunos na maratona de cálculo II o seguinte problema: Sejam f, g: R longrightarrow R funções que admitem derivadas de 2 ordem contínuas tais que f assume um valor máximo local em t=2 e g assume um valor mínimo local em t=5. Considere h: R^2 longrightarrow R uma função de duas variáveis reais definida por h(x, y)=f(x)+g(y). Mostre que o ponto (2,5) é ponto crítico de h e, em seguinda, classifique-o.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g de variável real, ambas com derivadas de segunda ordem contínuas, sendo que f tem um máximo local em t = 2 e g tem um mínimo local em t = 5. Definimos h(x,y)=f(x)+g(y) e precisamos mostrar que (2,5) é ponto crítico de h e depois classificá-lo usando derivadas de segunda ordem em duas variáveis.

Passo 2

Para achar pontos críticos de h, calculamos as derivadas parciais. Como h separa em f(x) e g(y), temos
partial hpartial x(x,y)=f'(x),
partial hpartial y(x,y)=g'(y)
Num ponto crítico ambas devem ser zero. Como f tem extremo local em x=2, sabemos que f’(2)=0, e como g tem extremo local em y=5, temos g’(5)=0. Logo ∇h(2,5)=(0,0), ou seja, (2,5) é ponto crítico.

Passo 3

Para classificar o tipo de ponto crítico, calculamos a matriz Hessiana de h. Como não há termo misto,
Hh(x,y)=f''(x)&00&g''(y)
No ponto (2,5) isso vira
Hh(2,5)=f''(2)&00&g''(5)
Como f tem máximo local em 2, f’’(2)<0, e como g tem mínimo local em 5, g’’(5)>0. Assim a matriz Hessiana tem um autovalor negativo e outro positivo, sendo indefinida.

Passo 4

Quando a Hessiana é indefinida isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela. Portanto, (2,5) é um ponto de sela de h.

Resposta

O ponto (2,5) é um ponto de sela de h.

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