Com base nisso um professor prôpos a seus alunos na maratona de cálculo II o seguinte problema: Sejam
funções que admitem derivadas de 2 ordem contínuas tais que
assume um valor máximo local em
assume um valor mínimo local em
. Considere
uma função de duas variáveis reais definida por
. Mostre que o ponto
é ponto crítico de
e, em seguinda, classifique-o.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções f e g de variável real, ambas com derivadas de segunda ordem contínuas, sendo que f tem um máximo local em t = 2 e g tem um mínimo local em t = 5. Definimos h(x,y)=f(x)+g(y) e precisamos mostrar que (2,5) é ponto crítico de h e depois classificá-lo usando derivadas de segunda ordem em duas variáveis.
Passo 2
Para achar pontos críticos de h, calculamos as derivadas parciais. Como h separa em f(x) e g(y), temos
Num ponto crítico ambas devem ser zero. Como f tem extremo local em x=2, sabemos que f’(2)=0, e como g tem extremo local em y=5, temos g’(5)=0. Logo ∇h(2,5)=(0,0), ou seja, (2,5) é ponto crítico.
Passo 3
Para classificar o tipo de ponto crítico, calculamos a matriz Hessiana de h. Como não há termo misto,
No ponto (2,5) isso vira
Como f tem máximo local em 2, f’’(2)<0, e como g tem mínimo local em 5, g’’(5)>0. Assim a matriz Hessiana tem um autovalor negativo e outro positivo, sendo indefinida.
Passo 4
Quando a Hessiana é indefinida isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela. Portanto, (2,5) é um ponto de sela de h.
Resposta
O ponto (2,5) é um ponto de sela de h.