Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série
. Precisamos achar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
, descobrir uma fórmula geral para
em função de
, e verificar se a série converge, achando sua soma quando for o caso. O conteúdo principal aqui é progressão geométrica.
Passo 2
Cálculo dos quatro primeiros
. Para cada
somamos os termos até
:
Passo 3
Fórmula geral para
. A série é uma PG de primeiro termo
e razão
. A soma dos
primeiros termos de uma PG é
Substituindo, obtemos
Passo 4
Convergência e soma da série infinita. Como a razão
, a PG converge. No limite
temos
, logo
Resposta
Os quatro primeiros valores são
A fórmula geral da soma parcial é
Como a razão
satisfaz
, a série converge e sua soma é