Encontre os quatro primeiros elementos da sequência das somas parciais (Sn), e obtenha uma fórmula para Sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 25^n-1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série sumn=1^+infty25^n-1. Precisamos achar os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais Sn=sumk=1^n25^k-1, descobrir uma fórmula geral para Sn em função de n, e verificar se a série converge, achando sua soma quando for o caso. O conteúdo principal aqui é progressão geométrica.

Passo 2

Cálculo dos quatro primeiros Sn. Para cada n somamos os termos até k=n:
S1=25^0=2,
S2=2+25=2+25=125,
S3=125+225=60+225=6225,
S4=6225+2125=310+2125=312125

Passo 3

Fórmula geral para Sn. A série é uma PG de primeiro termo a=2 e razão r=1/5. A soma dos n primeiros termos de uma PG é
Sn=a,1-r^n1-r
Substituindo, obtemos
Sn=2,1-(1/5)^n1-1/5=2,1-5^-n4/5=52l(1-5^-nr)

Passo 4

Convergência e soma da série infinita. Como a razão |r|=1/5<1, a PG converge. No limite ntoinfty temos 5^-nto0, logo
sumn=1^+infty25^n-1=limntoinftySn=52,

Resposta

Os quatro primeiros valores são
S1=2, S2=tfrac125, S3=tfrac6225, S4=tfrac312125.
A fórmula geral da soma parcial é
Sn=52l(1-5^-nr)
Como a razão 1/5 satisfaz |r|<1, a série converge e sua soma é
sumn=1^+infty25^n-1=52

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