Determine os valores de a e b para os quais f é contínua e tem derivada em x=1.
f(x)=lll x^2 & se & x <= 1 a x+b & se & x>1

Passo 1

O enunciado define uma função em partes: para x≤1 temos f(x)=x² e para x>1 temos f(x)=ax+b. Precisamos encontrar a e b tais que f seja contínua em x=1 e ainda tenha derivada em x=1.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=1, a imagem à esquerda em x=1 deve bater com a da direita. Isso dá a condição:
1^2 = acdot1 + b
ou seja a + b = 1.

Passo 3

Para que f seja derivável em x=1, as derivadas laterais em x=1 têm de coincidir. A derivada de x² é 2x, que em x=1 vale 2. A derivada de ax+b é a. Logo:
a = 2
Substituindo em a+b=1 vem 2+b=1, logo b=-1.

Resposta

a = 2 e b = -1

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