Determine os valores de
e
para os quais
é contínua e tem derivada em
.
Passo 1
O enunciado define uma função em partes: para x≤1 temos f(x)=x² e para x>1 temos f(x)=ax+b. Precisamos encontrar a e b tais que f seja contínua em x=1 e ainda tenha derivada em x=1.
Passo 2
Para que f seja contínua em x=1, a imagem à esquerda em x=1 deve bater com a da direita. Isso dá a condição:
ou seja
.
Passo 3
Para que f seja derivável em x=1, as derivadas laterais em x=1 têm de coincidir. A derivada de x² é 2x, que em x=1 vale 2. A derivada de ax+b é a. Logo:
Substituindo em
vem
, logo
.
Resposta
a = 2 e b = -1