Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O exercício dá a integral iterada integral0^1integral0^x f(x,y),dy,dx e pede para identificar a região de integração e depois trocar a ordem das integrais. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Como x varia de 0 até 1 e, para cada x, y varia de 0 até x, a região no plano é (x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x. Geometricamente, é o triângulo abaixo da reta y=x entre 0 e 1.

Passo 3

Para inverter a ordem, agora fazemos y primeiro: o menor y na região é 0 e o maior é 1. Assim y varia de 0 até 1.
Para cada y fixo, x percorre de x=y (linha y=x) até o limite x=1. Portanto x varia de y até 1.

Passo 4

Substituindo esses limites, a integral com ordem trocada fica integraly=0^1integralx=y^1 f(x,y),dx,dy.

Resposta

integral0^1integraly^1 f(x,y),dx,dy

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