Determine a região de integração e troque a ordem de integração da seguinte integral:
Passo 1
O exercício dá a integral iterada
e pede para identificar a região de integração e depois trocar a ordem das integrais. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Como
varia de 0 até 1 e, para cada
,
varia de 0 até
, a região no plano é
. Geometricamente, é o triângulo abaixo da reta
entre 0 e 1.
Passo 3
Para inverter a ordem, agora fazemos
primeiro: o menor
na região é 0 e o maior é 1. Assim
varia de 0 até 1.
Para cada fixo,
percorre de
(linha
) até o limite
. Portanto
varia de
até 1.
Para cada
Passo 4
Substituindo esses limites, a integral com ordem trocada fica
.