Base ortonormal em coordenadas curvilíneas I. Uma forma de construirmos uma base ortonormal para representar vetores em um espaço de coordenadas curvilíneas é encontrar o conjunto de versores tangentes às chamadas curvas de coordenadas. (a) Descreva as curvas de coordendas do sistema de coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente “descrever as curvas de coordenadas do sistema de coordenadas polares”. Isso faz parte de “coordenadas curvilíneas” e versão “base ortonormal”: o que é importante aqui é entender como, no sistema polar, a gente monta essas curvas de coordenada. Para resolver, vamos precisar saber que, em geral, para achar as curvas de coordenada, basta fixar uma das variáveis e deixar a outra livre.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as curvas em que θ é constante.
- No sistema polar, um ponto é dado por (r, θ).
- Se θ = θ₀ (um valor fixo) e r varia de 0 até ∞, o conjunto de pontos forma um raio (uma semi-reta) que parte da origem e vai para fora com ângulo θ₀ em relação ao eixo x.
- Matematicamente:
Passo 3
Agora, as curvas em que r é constante.
- Se r = r₀ (um valor fixo) e θ varia de 0 a 2π, a gente descreve uma circunferência de raio r₀ centrada na origem.
- Em fórmula:
Resposta
As curvas de coordenadas no sistema polar são
- θ = constante → semi-retas radiais saindo da origem com ângulo θ fixo;
- r = constante → circunferências concêntricas de raio r fixo, centradas na origem.