Base ortonormal em coordenadas curvilíneas I. Uma forma de construirmos uma base ortonormal para representar vetores em um espaço de coordenadas curvilíneas é encontrar o conjunto de versores tangentes às chamadas curvas de coordenadas. (a) Descreva as curvas de coordendas do sistema de coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente “descrever as curvas de coordenadas do sistema de coordenadas polares”. Isso faz parte de “coordenadas curvilíneas” e versão “base ortonormal”: o que é importante aqui é entender como, no sistema polar, a gente monta essas curvas de coordenada. Para resolver, vamos precisar saber que, em geral, para achar as curvas de coordenada, basta fixar uma das variáveis e deixar a outra livre.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as curvas em que θ é constante.
  • No sistema polar, um ponto é dado por (r, θ).
  • Se θ = θ₀ (um valor fixo) e r varia de 0 até ∞, o conjunto de pontos forma um raio (uma semi-reta) que parte da origem e vai para fora com ângulo θ₀ em relação ao eixo x.
  • Matematicamente: theta = theta0, rin[0,infty)Longrightarrowreta radial de ângulo theta0â

Passo 3

Agora, as curvas em que r é constante.
  • Se r = r₀ (um valor fixo) e θ varia de 0 a 2π, a gente descreve uma circunferência de raio r₀ centrada na origem.
  • Em fórmula: r = r0, thetain[0,2pi)Longrightarrowcircunferência de raio r0ê

Resposta

As curvas de coordenadas no sistema polar são
  1. θ = constante → semi-retas radiais saindo da origem com ângulo θ fixo;
  2. r = constante → circunferências concêntricas de raio r fixo, centradas na origem.

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