Teorema de Helmholtz II. Calcule e em coordenadas cilíndricas e retangulares, expressando de forma conveniente em cada caso. Compare o trabalho dos cálculos em cada caso.
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente calcular a divergência
e o rotacional
de um campo vetorial em dois sistemas de coordenadas: retangulares (cartesianas) e cilíndricas. Vamos precisar:
• Saber escrever em cada base (i, j, k ou eₙ, e_θ, e_z).
• As fórmulas de divergência e rotacional em cada sistema.
• Entender como essas fórmulas surgem (definição e fatores métricos).
Passo 2
Resolvendo em coordenadas retangulares (x,y,z):
Escreve .
Definição de divergência em cartesiano: basta somar as derivadas parciais das componentes:
Definição de rotacional em cartesiano: usa-se o determinante
ou explicitamente
Passo 3
Agora, em coordenadas cilíndricas nablacdot v =1rpartialpartial rl(r,vrr) +1rpartial vthetapartialtheta +partial vzpartial z :
A base é . O campo vira
Divergência em cilíndrico (fatores métricos ):
Explicando rapidinho: o aparece porque, ao “somar” fluxos em torno de , a largura do arco é .
Passo 4
Rotacional em cilíndrico (usando a forma geral em coordenadas ortogonais):
nablatimes v =l(1rpartialtheta vz-partialz vthetar) er +l(partialz vr-partialr vzr) etheta +1rl(partialr(r,vtheta)-partialtheta vrr) ez
Aqui cada termo vem de projetar o determinante expanding em e lembrar que “gira” com .
Passo 5
Comparando o trabalho:
Em retangular: só faz derivada direta de cada componente, sem fator extra.
Em cilíndrico: aparecem fatores e , e você precisa lembrar dos “h’s” (fatores métricos). Dá um pouco mais de dó na hora de decorar, mas, se o seu campo tiver simetria cilíndrica (não depende de ou é “todo radial”), compensa muito!
Resposta
Divergência:
• Cartesianas: i & j & k partialx & partialy & partialz vx & vy & vz
• Cilíndricas: