Teorema de Helmholtz II. Calcule nabla cdot v e nabla times v em coordenadas cilíndricas e retangulares, expressando v de forma conveniente em cada caso. Compare o trabalho dos cálculos em cada caso.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente calcular a divergência

e o rotacional

de um campo vetorial em dois sistemas de coordenadas: retangulares (cartesianas) e cilíndricas. Vamos precisar:
• Saber escrever em cada base (i, j, k ou eₙ, e_θ, e_z).
• As fórmulas de divergência e rotacional em cada sistema.
• Entender como essas fórmulas surgem (definição e fatores métricos).

Passo 2

Resolvendo em coordenadas retangulares (x,y,z):
  1. Escreve nablacdot v =partial vxpartial x +partial vypartial y +partial vzpartial z .
  2. Definição de divergência em cartesiano: basta somar as derivadas parciais das componentes:
nablatimes v = i & j & k partialx & partialy & partialz vx & vy & vz ,
  1. Definição de rotacional em cartesiano: usa-se o determinante
nablatimes v =l(partialy vz-partialz vyr) i -l(partialx vz-partialz vxr) j +l(partialx vy-partialy vxr) k
ou explicitamente

Passo 3

Agora, em coordenadas cilíndricas nablacdot v =1rpartialpartial rl(r,vrr) +1rpartial vthetapartialtheta +partial vzpartial z :
  1. A base é . O campo vira
  2. Divergência em cilíndrico (fatores métricos ):
Explicando rapidinho: o aparece porque, ao “somar” fluxos em torno de , a largura do arco é .

Passo 4

Rotacional em cilíndrico (usando a forma geral em coordenadas ortogonais):
nablatimes v =l(1rpartialtheta vz-partialz vthetar) er +l(partialz vr-partialr vzr) etheta +1rl(partialr(r,vtheta)-partialtheta vrr) ez
Aqui cada termo vem de projetar o determinante expanding em e lembrar que “gira” com .

Passo 5

Comparando o trabalho:
  • Em retangular: só faz derivada direta de cada componente, sem fator extra.
  • Em cilíndrico: aparecem fatores e , e você precisa lembrar dos “h’s” (fatores métricos). Dá um pouco mais de dó na hora de decorar, mas, se o seu campo tiver simetria cilíndrica (não depende de ou é “todo radial”), compensa muito!

Resposta

Divergência:
• Cartesianas: i & j & k partialx & partialy & partialz vx & vy & vz
• Cilíndricas:
Rotacional:
• Cartesianas:

• Cilíndricas:

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