beta=1raiz2[c 0 1 -1 ], 1raiz6[l 2 1 1 ], 1raiz3[c 1 -1 -1 ]
é uma base ortonormal de R^3. Use os coeficientes de fourier para determinar [w]beta, sendo w=[c3 -2 1].

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal
beta = tfrac1raiz2(0,1,-1),,tfrac1raiz6(2,1,1),,tfrac1raiz3(1,-1,-1)
de R^3 e o vetor
w = 3-21
Queremos expressar w nessa base usando coeficientes de Fourier, ou seja, produtos internos com cada vetor da base.

Passo 2

Em base ortonormal, o coeficiente ci de w na direção de betai é dado por
ci = lang<= betai,,wrang<=,
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto escalar padrão em R^3.

Passo 3

Calculamos cada coeficiente:
Para beta1=1raiz2(0,1,-1):
c1 = lang<= tfrac1raiz2(0,1,-1),,wrang<= = 1raiz2(0cdot3 + 1cdot(-2) + (-1)cdot1) = -3raiz2
Para beta2=1raiz6(2,1,1):
c2 = lang<= tfrac1raiz6(2,1,1),,wrang<= = 1raiz6(2cdot3 + 1cdot(-2) + 1cdot1) = 5raiz6
Para beta3=1raiz3(1,-1,-1):
c3 = lang<= tfrac1raiz3(1,-1,-1),,wrang<= = 1raiz3(1cdot3 + (-1)cdot(-2) + (-1)cdot1) = 4raiz3

Passo 4

As coordenadas de w na base beta são exatamente os coeficientes calculados, ou seja,
[w]beta = c1[6pt] c2[6pt] c3 = -dfrac3raiz2[6pt] dfrac5raiz6[6pt] dfrac4raiz3 ]

Resposta

[w]beta = -dfrac3raiz2 dfrac5raiz6 dfrac4raiz3

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