alpha=[c cos theta sen theta cos ^2 theta sen theta ],[c -cos theta sen theta 0 ],[c -sen^2 theta -cos theta sen theta cos theta ]
Sendo C a base canônica, determine a matriz [I]alpha^C. Esta matriz é ortogonal?

Passo 1

O enunciado nos dá a base alphasubset R^3 formada pelos vetores
v1=costheta,senthetacos^2thetasentheta, v2=-costhetasentheta0, v3=-sen^2theta-,costheta,senthetacostheta,
e pede a matriz de mudança de base de alpha para a base canônica C, ou seja [I]alpha^C. Vamos usar que as colunas dessa matriz são exatamente as coordenadas de v1,v2,v3 em C. Depois veremos se essa matriz é ortogonal, lembrando que uma matriz é ortogonal se suas colunas formam um sistema ortonormal.

Passo 2

Como a definição de [I]alpha^C diz que cada coluna é a representação de um vetor de alpha na base canônica, temos diretamente
[I]alpha^C=l[,v1;;v2;;v3r] = costheta,sentheta & -costheta & -sen^2theta cos^2theta & sentheta & -costheta,sentheta sentheta & 0 & costheta

Passo 3

Para verificar se essa matriz é ortogonal, precisamos checar que as colunas têm norma 1 e que são mutuamente ortogonais. Vamos anotar
v1=(a,b,c), v2=(d,e,0), v3=(f,g,h)
onde
a=costheta,sentheta,; b=cos^2theta,; c=sentheta,
d=-costheta,; e=sentheta,; f=-sen^2theta,; g=-costheta,sentheta,; h=costheta

Passo 4

Calculamos as normas:
|v1|^2 =a^2+b^2+c^2 =cos^2theta,sen^2theta+cos^4theta+sen^2theta =cos^2theta(sen^2theta+cos^2theta)+sen^2theta =cos^2theta+sen^2theta=1,
|v2|^2 =d^2+e^2+0^2 =cos^2theta+sen^2theta=1,
|v3|^2 =f^2+g^2+h^2 =sen^4theta+cos^2theta,sen^2theta+cos^2theta =sen^2theta(sen^2theta+cos^2theta)+cos^2theta =sen^2theta+cos^2theta=1

Passo 5

Agora os produtos internos entre colunas distintas:
v1cdot v2 =a,d+b,e+ccdot0 =-cos^2theta,sentheta+cos^2theta,sentheta=0,
v1cdot v3 =a,f+b,g+c,h =-costheta,sen^3theta-cos^3theta,sentheta+sentheta,costheta =senthetacosthetal(1-cos^2theta-sen^2thetar)=0,
v2cdot v3 =d,f+e,g+0cdot h =costheta,sen^2theta-sentheta,costheta,sentheta =costheta,sen^2theta-costheta,sen^2theta=0
Como cada coluna tem norma 1 e são mutuamente ortogonais, a matriz é ortogonal.

Resposta

[I]alpha^C = costheta,sentheta & -costheta & -sen^2theta cos^2theta & sentheta & -costheta,sentheta sentheta & 0 & costheta ,
e sim, essa matriz é ortogonal.

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