alpha=1raiz10[c -1 3 ], 1raiz10[l 3 1 ], beta=1raiz5[c 2 -1 ], 1raiz5[l 1 2 ]
Mostre que as bases são ortonormais e calcule a matriz mudança de base de alpha para beta.

Passo 1

O enunciado dá duas coleções de vetores em R^2:
alpha = lalpha1,alpha2r, alpha1 = 1raiz10-13,; alpha2 = 1raiz1031,
beta = lbeta1,beta2r, beta1 = 1raiz52-1,; beta2 = 1raiz512
O objetivo é mostrar que cada conjunto é ortonormal (ou seja, vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais) e em seguida calcular a matriz de mudança de base de alpha para beta. Para isso usaremos o produto interno usual em R^2 e a fórmula
P ;=; B^T,A,isto é;Pij=lang<= betai,alphajrang<=, é
onde A e B têm colunas alphaj e betai, respectivamente.

Passo 2

Mostramos que alpha é ortonormal. Primeiro a norma de cada alphaj:
|alpha1|^2 =llang<= tfrac1raiz10(-1,3),,tfrac1raiz10(-1,3)rrang<= =1+910=1,
|alpha2|^2 =llang<= tfrac1raiz10(3,1),,tfrac1raiz10(3,1)rrang<= =9+110=1
Agora a ortogonalidade:
lang<= alpha1,alpha2rang<= =110l((-1)cdot3 + 3cdot1r) =-3+310=0
Logo alpha é ortonormal.

Passo 3

Analogamente para beta:
|beta1|^2 =llang<= tfrac1raiz5(2,-1),,tfrac1raiz5(2,-1)rrang<= =4+15=1,
|beta2|^2 =llang<= tfrac1raiz5(1,2),,tfrac1raiz5(1,2)rrang<= =1+45=1,
lang<= beta1,beta2rang<= =15l(2cdot1 + (-1)cdot2r) =2-25=0
Logo beta é ortonormal.

Passo 4

Para achar a matriz de mudança de base P de alpha para beta, usamos
Pij = lang<= betai,alphajrang<=
Calculemos os quatro elementos:
lang<= beta1,alpha1rang<= =1raiz5,raiz10l(2cdot(-1)+(-1)cdot3r) =-2-3raiz50=-55raiz2=-1raiz2,
lang<= beta1,alpha2rang<= =1raiz50l(2cdot3+(-1)cdot1r) =6-15raiz2 =55raiz2=1raiz2,
lang<= beta2,alpha1rang<= =1raiz50l(1cdot(-1)+2cdot3r) =-1+65raiz2 =55raiz2=1raiz2,
lang<= beta2,alpha2rang<= =1raiz50l(1cdot3+2cdot1r) =3+25raiz2 =55raiz2=1raiz2
Portanto
P = -tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2[6pt] tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 =1raiz2-1 & 1 1 & 1 ]

Resposta

As bases alpha e beta são ortonormais, e a matriz de mudança de base de alpha para beta é
P = 1raiz2-1 & 1[4pt]1 & 1 ]

Exercícios relacionados