Um fluido aquecido em
passa por uma seção de tubo de aço (
) com 1 metro de comprimento, espessura igual a 1 mm e diâmetro interno de 10 mm . Um fluido refrigerante a
se encontra em escoamento transversal sobre o tubo em que o coeficiente convetivo entre fluido e a superfície externa é de
. Assumindo que a temperatura na superfície interna do tubo seja de
, encontre:
a) a perda de calor através do tubo.
b) a espessura de um isolante térmico de fibra de vidro (
) para minimizar a perda de calor em 95%.
a) a perda de calor através do tubo.
b) a espessura de um isolante térmico de fibra de vidro (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Temperatura na superfície interna do tubo:
. - Fluido refrigerante (ambiente externo) com temperatura:
. - Tubo de aço:
- Condutividade térmica:
. - Comprimento:
. - Espessura do tubo:
. - Diâmetro interno:
→ raio interno . - Logo raio externo do aço:
.
- Condutividade térmica:
- Convecção externa sobre a superfície externa do tubo (sem isolante): coeficiente convectivo
. - Isolante (fibra de vidro) para a parte (b):
. Espessura a determinar. - Comprimento do tubo usado como área de troca:
.
O enunciado pede:
(a) a perda de calor através do tubo (assumindo superfície interna a );
(b) a espessura do isolante para reduzir a perda de calor em (ou seja, fazer a nova perda ser
da original).
(a) a perda de calor através do tubo (assumindo superfície interna a
(b) a espessura do isolante para reduzir a perda de calor em
Passo 2
Modelo físico e fórmulas (aula rápida, passo a passo):
-
Em regime estacionário, a transferência de calor do interior para o fluido externo pode ser modelada como uma associação de resistências térmicas em série: resistência por condução radial no material cilíndrico do tubo, possível resistência por condução no isolante (se presente) e resistência por convecção na superfície externa.
-
Resistência por condução em parede cilíndrica (entre raios
e , comprimento , condutividade ):
Explicando:
é o fator geométrico para cilindros;
seria a área lateral, e a fórmula resulta da integração da lei de Fourier em coordenadas radiais. Todas as variáveis:
-
: raios internos/externos da camada considerada (m); -
: condutividade térmica (W/(m·K)); -
: comprimento cilíndrico (m). -
Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio externo
:
Explicando:
é o coeficiente convectivo (W/(m²·K)), e
é a área externa da superfície cilíndrica.
- Para duas resistências em série, a perda de calor total é
Vamos aplicar diretamente essas fórmulas aos parâmetros dados.
Passo 3
Cálculo das resistências para o caso sem isolante (parte a):
- Raio interno e externo do aço (já listados):
- Resistência de condução no aço:
Substituindo números:
Comentário: essa resistência é bem pequena (aço é bom condutor e a espessura é pequena).
- Resistência convectiva externa (na superfície do tubo sem isolante, raio
):
Calcule:
- Resistência total sem isolante:
- Perda de calor:
Interpretação curta (didática): a resistência por convecção externa domina (≈1{,}33 K/W) comparada com a condução no aço (≈0{,}0016 K/W). Ou seja, o gargalo térmico está no contato com o fluido externo — o aço fino quase não impede transferência.
Passo 4
Estratégia para (b) — redução de
:
- Desejamos que a nova transferência
seja de :
- Como
, exigir é equivalente a exigir que a resistência total aumente em fator :
- Com isolante, a resistência total é
onde:
e
é o raio externo após acrescentar o isolante. A incógnita é
.
- Então a equação a resolver é:
Passo 5
Resolver numericamente a equação para
(detalhando as substituições):
- Já calculamos
e . Logo
- Portanto a soma
deve valer
- Escrevendo explicitamente com constantes numéricas (usando
, , , ):
- Simplificar coeficientes numéricos:
A equação fica
Multiplicando por
:
O termo pequeno vale
. O lado direito vale
. Assim:
Passo 6
Solução aproximada (justificando aproximação):
- Para um
grande, o termo é negligenciável frente ao termo (porque cresce muito mais lentamente, mas o inverso também se torna pequeno). Como a resistência total requerida é muito grande, espera-se muito grande; portanto é razoável primeiro desprezar o termo pequeno e resolver:
- Exponenciando:
- Calcule
. Aproximação numérica:
Logo
- Portanto a espessura do isolante necessária é
Observação numérica: se se substituísse o valor obtido de
na equação completa, o pequeno termo
seria da ordem de
, totalmente irrelevante — logo a aproximação é consistente.
Passo 7
Interpretação física e comentário motivador:
-
Resultado: para reduzir a perda de calor em
mantendo a superfície interna do aço a e com o coeficiente convectivo externo de , seria necessário um isolante com espessura da ordem de algumas centenas de metros (aqui aproximado em ). Isso é obviamente impraticável — a razão é que a resistência convectiva externa domina e a resistência de um isolante cilíndrico cresce com o logaritmo do raio, que é uma função muito lenta; para alcançar fatores grandes de redução é preciso aumentar o raio exponencialmente. -
Conclusão prática: para obter grandes reduções de perda de calor é mais eficiente combinar medidas como diminuir o coeficiente convectivo externo (por exemplo cobrindo com camada de ar parado, usar vácuo, reduzir fluxo de ar), usar materiais muito melhores (ou múltiplas camadas com propriedades diferentes) ou permitir que a temperatura interna caia um pouco, em vez de tentar apenas aumentar espessura de isolante.
Força aí — a conta ficou longa, mas agora você tem o método completo e sabe por que o resultado é tão extremo. Dá pra usar isso na prova: montar o circuito de resistências, escrever a equação e resolver numericamente (ou aproximar como fiz).
Resposta
(a)
(b)
(b)