Um fluido aquecido em 200^{\circ} \mathrm{C} passa por uma seção de tubo de aço ( \mathrm{k}=17,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ) com 1 metro de comprimento, espessura igual a 1 mm e diâmetro interno de 10 mm . Um fluido refrigerante a 27^{\circ} \mathrm{C} se encontra em escoamento transversal sobre o tubo em que o coeficiente convetivo entre fluido e a superfície externa é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Assumindo que a temperatura na superfície interna do tubo seja de 200^{\circ} \mathrm{C}, encontre:
a) a perda de calor através do tubo.
b) a espessura de um isolante térmico de fibra de vidro ( \mathrm{k}=0,068 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) para minimizar a perda de calor em 95%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura na superfície interna do tubo: T_{si}=200^\circ\mathrm{C}.
  • Fluido refrigerante (ambiente externo) com temperatura: T_{\infty}=27^\circ\mathrm{C}.
  • Tubo de aço:
    • Condutividade térmica: k_{\text{aço}}=17,9\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
    • Comprimento: L=1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Espessura do tubo: t_{\text{aço}}=1{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}ç.
    • Diâmetro interno: D_i=10\\ \mathrm{mm}=0{,}010\\ \mathrm{m} → raio interno r_i=0{,}005\\ \mathrm{m}.
    • Logo raio externo do aço: r_s=r_i+t_{\text{aço}}=0{,}006\\ \mathrm{m}ç.
  • Convecção externa sobre a superfície externa do tubo (sem isolante): coeficiente convectivo h=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Isolante (fibra de vidro) para a parte (b): k_{\text{iso}}=0{,}068\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Espessura a determinar.
  • Comprimento do tubo usado como área de troca: L=1{,}0\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a perda de calor através do tubo (assumindo superfície interna a 200^\circ\mathrm{C});
(b) a espessura do isolante para reduzir a perda de calor em 95\% (ou seja, fazer a nova perda ser 5\% da original).

Passo 2

Modelo físico e fórmulas (aula rápida, passo a passo):
  • Em regime estacionário, a transferência de calor do interior para o fluido externo pode ser modelada como uma associação de resistências térmicas em série: resistência por condução radial no material cilíndrico do tubo, possível resistência por condução no isolante (se presente) e resistência por convecção na superfície externa.
  • Resistência por condução em parede cilíndrica (entre raios r_1 e r_2, comprimento L, condutividade k):
R_{\text{cond,cyl}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Explicando: \ln(r_2/r_1) é o fator geométrico para cilindros; 2\pi r L seria a área lateral, e a fórmula resulta da integração da lei de Fourier em coordenadas radiais. Todas as variáveis:
  • r_1,r_2: raios internos/externos da camada considerada (m);
  • k: condutividade térmica (W/(m·K));
  • L: comprimento cilíndrico (m).
  • Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio externo r_o:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_o L)}.
Explicando: h é o coeficiente convectivo (W/(m²·K)), e 2\pi r_o L é a área externa da superfície cilíndrica.
  • Para duas resistências em série, a perda de calor total é
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{T_{si}-T_\infty}{R_{\text{cond do aço}}+R_{\text{cond do isolante (se houver)}}+R_{\text{conv}}}.ç
Vamos aplicar diretamente essas fórmulas aos parâmetros dados.

Passo 3

Cálculo das resistências para o caso sem isolante (parte a):
  1. Raio interno e externo do aço (já listados):
r_i=0{,}005\\ \mathrm{m},\qquad r_s=0{,}006\\ \mathrm{m}.
  1. Resistência de condução no aço:
R_{\text{aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_s}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{aço}} L}.çç
Substituindo números:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}006}{0{,}005}\right)=\ln(1{,}2)\approx0{,}1823216.
2\pi k_{\text{aço}} L = 2\pi\cdot17{,}9\cdot1{,}0 \approx 112{,}47.ç
R_{\text{aço}}=\frac{0{,}1823216}{112{,}47}\approx0{,}00162\\ \mathrm{K/W}.ç
Comentário: essa resistência é bem pequena (aço é bom condutor e a espessura é pequena).
  1. Resistência convectiva externa (na superfície do tubo sem isolante, raio r_s):
R_{\text{conv,sem}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_s L)}=\frac{1}{20\cdot2\pi\cdot0{,}006\cdot1{,}0}.
Calcule:
2\pi r_s = 2\pi\cdot0{,}006\approx0{,}0376991,
h(2\pi r_s L)=20\cdot0{,}0376991\approx0{,}753982,
R_{\text{conv,sem}}\approx\frac{1}{0{,}753982}\approx1{,}32629\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência total sem isolante:
R_{\text{tot,sem}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{conv,sem}}\approx0{,}00162+1{,}32629\approx1{,}32791\\ \mathrm{K/W}.ç
  1. Perda de calor:
Q_{\text{sem}}=\frac{T_{si}-T_\infty}{R_{\text{tot,sem}}}=\frac{200-27}{1{,}32791}=\frac{173}{1{,}32791}\approx130{,}3\\ \mathrm{W}.
Interpretação curta (didática): a resistência por convecção externa domina (≈1{,}33 K/W) comparada com a condução no aço (≈0{,}0016 K/W). Ou seja, o gargalo térmico está no contato com o fluido externo — o aço fino quase não impede transferência.

Passo 4

Estratégia para (b) — redução de 95\%:
  • Desejamos que a nova transferência Q_{\text{com}} seja 5\% de Q_{\text{sem}}:
Q_{\text{com}}=0{,}05\,Q_{\text{sem}}.
  • Como Q=(T_{si}-T_\infty)/R_{\text{tot}}, exigir Q_{\text{com}}=0{,}05\,Q_{\text{sem}} é equivalente a exigir que a resistência total aumente em fator 1/0{,}05=20:
R_{\text{tot,com}}=20\,R_{\text{tot,sem}}.
  • Com isolante, a resistência total é
R_{\text{tot,com}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{iso}}+R_{\text{conv,com}},ç
onde:
R_{\text{iso}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{r_s}\right)}{2\pi k_{\text{iso}}L}, \qquad R_{\text{conv,com}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_{\text{out}}L)},
e r_{\text{out}}=r_s+t_{\text{iso}} é o raio externo após acrescentar o isolante. A incógnita é t_{\text{iso}}=r_{\text{out}}-r_s.
  • Então a equação a resolver é:
R_{\text{aço}}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{r_s}\right)}{2\pi k_{\text{iso}}L}+\frac{1}{h(2\pi r_{\text{out}}L)}=20\,R_{\text{tot,sem}}.ç

Passo 5

Resolver numericamente a equação para r_{\text{out}} (detalhando as substituições):
  1. Já calculamos R_{\text{aço}}\approx0{,}00162\\ \mathrm{K/W}ç e R_{\text{tot,sem}}\approx1{,}32791\\ \mathrm{K/W}. Logo
20\,R_{\text{tot,sem}}\approx20\cdot1{,}32791\approx26{,}5582\\ \mathrm{K/W}.
  1. Portanto a soma R_{\text{iso}}+R_{\text{conv,com}} deve valer
R_{\text{iso}}+R_{\text{conv,com}}=20\,R_{\text{tot,sem}}-R_{\text{aço}}\approx26{,}5582-0{,}00162\approx26{,}5566\\ \mathrm{K/W}.ç
  1. Escrevendo explicitamente com constantes numéricas (usando L=1{,}0\\ \mathrm{m}, k_{\text{iso}}=0{,}068\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, h=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, r_s=0{,}006\\ \mathrm{m}):
\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\right)}{2\pi\cdot0{,}068\cdot1}+\frac{1}{20\cdot2\pi r_{\text{out}}\cdot1}=26{,}5566.
  1. Simplificar coeficientes numéricos:
2\pi\cdot0{,}068\approx0{,}427256, \qquad \frac{1}{20\cdot2\pi}\approx0{,}0079577.
A equação fica
\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\right)}{0{,}427256}+\frac{0{,}0079577}{r_{\text{out}}}=26{,}5566.
Multiplicando por 0{,}427256:
\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\right)+\frac{0{,}0079577\cdot0{,}427256}{r_{\text{out}}}\approx26{,}5566\cdot0{,}427256.
O termo pequeno vale 0{,}0079577\cdot0{,}427256\approx0{,}003397. O lado direito vale \approx11{,}35. Assim:
\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\right)+\frac{0{,}003397}{r_{\text{out}}}\approx11{,}35.

Passo 6

Solução aproximada (justificando aproximação):
  • Para um r_{\text{out}} grande, o termo \dfrac{0{,}003397}{r_{\text{out}}} é negligenciável frente ao termo \ln (porque \ln cresce muito mais lentamente, mas o inverso também se torna pequeno). Como a resistência total requerida é muito grande, espera-se r_{\text{out}} muito grande; portanto é razoável primeiro desprezar o termo pequeno e resolver:
\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\right)\approx11{,}35.
  • Exponenciando:
\frac{r_{\text{out}}}{0{,}006}\approx e^{11{,}35}\quad\Rightarrow\quad r_{\text{out}}\approx0{,}006\;e^{11{,}35}.
  • Calcule e^{11{,}35}. Aproximação numérica:
e^{11{,}35}\approx8{,}53\times10^{4}.
Logo
r_{\text{out}}\approx0{,}006\cdot8{,}53\times10^{4}\approx5{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a espessura do isolante necessária é
t_{\text{iso}}=r_{\text{out}}-r_s\approx512\\ \mathrm{m}-0{,}006\\ \mathrm{m}\approx512\\ \mathrm{m}.
Observação numérica: se se substituísse o valor obtido de r_{\text{out}} na equação completa, o pequeno termo \dfrac{0{,}003397}{r_{\text{out}}} seria da ordem de 6{,}6\times10^{-6}, totalmente irrelevante — logo a aproximação é consistente.

Passo 7

Interpretação física e comentário motivador:
  • Resultado: para reduzir a perda de calor em 95\% mantendo a superfície interna do aço a 200^\circ\mathrm{C} e com o coeficiente convectivo externo de 20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, seria necessário um isolante com espessura da ordem de algumas centenas de metros (aqui aproximado em \approx512\\ \mathrm{m}). Isso é obviamente impraticável — a razão é que a resistência convectiva externa domina e a resistência de um isolante cilíndrico cresce com o logaritmo do raio, que é uma função muito lenta; para alcançar fatores grandes de redução é preciso aumentar o raio exponencialmente.
  • Conclusão prática: para obter grandes reduções de perda de calor é mais eficiente combinar medidas como diminuir o coeficiente convectivo externo (por exemplo cobrindo com camada de ar parado, usar vácuo, reduzir fluxo de ar), usar materiais muito melhores (ou múltiplas camadas com propriedades diferentes) ou permitir que a temperatura interna caia um pouco, em vez de tentar apenas aumentar espessura de isolante.
Força aí — a conta ficou longa, mas agora você tem o método completo e sabe por que o resultado é tão extremo. Dá pra usar isso na prova: montar o circuito de resistências, escrever a equação e resolver numericamente (ou aproximar como fiz).

Resposta

(a) Q_{\text{sem}}\approx130{,}3\\ \mathrm{W}
(b) t_{\text{iso}}\approx5{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{m}

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