Um vaso esférico, usado como reator para produzir fármacos, tem uma parede de aço inoxidável (
) com 10 mm de espessura e diâmetro interno de 1 m . A superfície externa do vaso é exposta ao ar ambiente (
). Nesta superfície, um coeficiente convectivo de
pode ser admitido.
a) Durante uma operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície interna de
é mantida pela geração de energia no interior do reator. Qual é a perda de calor no reator?
b) Se uma camada de 20 mm de isolante de fibra de vidro (
) for aplicada no exterior do vaso e a taxa de geração de energia térmica permanecer inalterada, qual será a temperatura da superfície interna do vaso?
a) Durante uma operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície interna de
b) Se uma camada de 20 mm de isolante de fibra de vidro (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Condutividade do aço inox:
. - Espessura da parede do vaso (aço):
. - Diâmetro interno do vaso:
. Logo raio interno . - Temperatura ambiente:
. - Coeficiente convectivo na superfície externa:
. - Temperatura da superfície interna mantida por geração:
.
Para a parte (b) há mais dados (peguei estes também do enunciado):
- Espessura do isolante (fibra de vidro):
. - Condutividade do isolante:
.
O que o enunciado pede:
(a) Em regime estacionário, com , qual é a potência perdida (taxa de calor) do reator
?
(b) Se for colocada a camada isolante (espessura e acima) e a taxa de geração permanecer a mesma, qual será a nova temperatura da superfície interna do vaso
?
(a) Em regime estacionário, com
(b) Se for colocada a camada isolante (espessura e
Passo 2
Explicação das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
Em regime estacionário a potência térmica gerada dentro do reator sai para o ambiente por condução radial através da parede esférica (aço), possivelmente através da camada isolante (quando existente), e finalmente por convecção do exterior para o ar. Em série térmica, usamos resistências térmicas análogas às elétricas:
- Resistência por convecção na superfície externa:
onde
é o coeficiente convectivo e
é a área da superfície externa pela qual ocorre a convecção. Para uma esfera de raio
,
.
- Resistência por condução radial através de uma casca esférica (entre raios
e , com condutividade ):
A partir da lei de Fourier em coordenadas esféricas: a área variável é. Escrevendo e integrando de a obtemos
Aqui
tem unidades
. Note que a ordem dos raios faz com que a diferença seja positiva se
.
A potência (fluxo total) é dada por
onde
é a diferença de temperatura entre a superfície interna (fonte) e o ambiente, e
é a soma das resistências em série (condução no aço + condução no isolante, se houver + convecção externa).
Passo 3
Calcular as resistências sem o isolante e então
.
Raios:
Resistência de condução através do aço (esfera entre
e
):
Substituindo:
Diferença:
Agora
(Esse valor é muito pequeno porque o aço é fino e tem alta condutividade.)
Área externa do aço (superfície de convecção) com raio
:
Resistência convectiva:
Resistência total sem isolante:
Potência perdida
(diferença
):
Interpretação rápida: A resistência dominante é a convecção externa; a parede de aço, sendo fina e condutora, contribui pouco para a resistência.
Passo 4
Agora colocamos o isolante de fibra de vidro no exterior e a geração continua a mesma (logo
permanece igual ao obtido na parte (a)). Com a nova série de resistências, encontramos a nova temperatura da superfície interna.
Novos raios:
Resistência de condução do isolante (entre
e
):
Cálculo das inversas:
Diferença:
E
Portanto
Área externa da camada isolante (para convecção) com raio
:
Resistência convectiva agora:
Somando todas as resistências em série (aço + isolante + convecção externa):
A geração de potência não mudou, então
permanece aproximadamente
(valor calculado em (a)). A nova temperatura da superfície interna é:
Arredondando apropriadamente:
.
Comentário didático: a adição do isolante aumenta muito a resistência térmica (a camada isolante tem baixa condutividade), de modo que para a mesma geração a temperatura interna sobe bastante — de
(condição original) para cerca de
com o isolante.
Passo 5
Resumo numérico dos principais valores intermediários (para conferência):
-
- Sem isolante:
, , , - Com isolante:
, , , ,
Resposta
(a)
(b)