Um vaso esférico, usado como reator para produzir fármacos, tem uma parede de aço inoxidável ( \mathrm{k}=17 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) com 10 mm de espessura e diâmetro interno de 1 m . A superfície externa do vaso é exposta ao ar ambiente ( \mathrm{T} \infty=25^{\circ} \mathrm{C} ). Nesta superfície, um coeficiente convectivo de 6 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) pode ser admitido.
a) Durante uma operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície interna de 50^{\circ} \mathrm{C} é mantida pela geração de energia no interior do reator. Qual é a perda de calor no reator?
b) Se uma camada de 20 mm de isolante de fibra de vidro ( \mathrm{k}=0,040 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) for aplicada no exterior do vaso e a taxa de geração de energia térmica permanecer inalterada, qual será a temperatura da superfície interna do vaso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Condutividade do aço inox: k_{\text{aço}}=17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Espessura da parede do vaso (aço): t_{\text{aço}}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}ç.
  • Diâmetro interno do vaso: D_{\text{i}}=1{,}0\\ \mathrm{m}. Logo raio interno r_1=\dfrac{D_{\text{i}}}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo na superfície externa: h=6\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura da superfície interna mantida por geração: T_{s,\text{int}}=50^\circ\mathrm{C}.
Para a parte (b) há mais dados (peguei estes também do enunciado):
  • Espessura do isolante (fibra de vidro): t_{\text{iso}}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade do isolante: k_{\text{iso}}=0{,}040\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que o enunciado pede:
(a) Em regime estacionário, com T_{s,\text{int}}=50^\circ\mathrm{C}, qual é a potência perdida (taxa de calor) do reator Q?
(b) Se for colocada a camada isolante (espessura e k acima) e a taxa de geração permanecer a mesma, qual será a nova temperatura da superfície interna do vaso T_{s,\text{int}}?

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
Em regime estacionário a potência térmica gerada dentro do reator sai para o ambiente por condução radial através da parede esférica (aço), possivelmente através da camada isolante (quando existente), e finalmente por convecção do exterior para o ar. Em série térmica, usamos resistências térmicas análogas às elétricas:
  • Resistência por convecção na superfície externa:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_o},
onde h é o coeficiente convectivo e A_o é a área da superfície externa pela qual ocorre a convecção. Para uma esfera de raio r, A=4\pi r^2.
  • Resistência por condução radial através de uma casca esférica (entre raios r_a e r_b, com condutividade k):
    A partir da lei de Fourier em coordenadas esféricas: a área variável é A(r)=4\pi r^2. Escrevendo q=-k A(r)\,dT/dr e integrando de r_a a r_b obtemos
R_{\text{cond,esf}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Aqui R_{\text{cond,esf}} tem unidades \mathrm{K/W}. Note que a ordem dos raios faz com que a diferença seja positiva se r_b>r_a.
A potência (fluxo total) é dada por
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre a superfície interna (fonte) e o ambiente, e R_{\text{total}} é a soma das resistências em série (condução no aço + condução no isolante, se houver + convecção externa).

Passo 3

Calcular as resistências sem o isolante e então Q.
Raios:
r_1=0{,}5\\ \mathrm{m}\quad(\text{raio interno}),\qquad r_2=r_1+t_{\text{aço}}=0{,}5+0{,}01=0{,}51\\ \mathrm{m}.ç
Resistência de condução através do aço (esfera entre r_1 e r_2):
R_{\text{aço}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{aço}}}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).çç
Substituindo:
\frac{1}{r_1}= \frac{1}{0{,}5}=2{,}0\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad \frac{1}{r_2}=\frac{1}{0{,}51}\approx1{,}9607843\\ \mathrm{m^{-1}}.
Diferença:
\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\approx 2{,}0-1{,}9607843=0{,}0392157\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora
R_{\text{aço}}=\frac{1}{4\pi\cdot 17}\cdot 0{,}0392157 =\frac{0{,}0392157}{68\pi}\approx 1{,}83\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.ç
(Esse valor é muito pequeno porque o aço é fino e tem alta condutividade.)
Área externa do aço (superfície de convecção) com raio r_2:
A_2=4\pi r_2^2=4\pi(0{,}51)^2=4\pi\cdot 0{,}2601\approx 3{,}2675\\ \mathrm{m^2}.
Resistência convectiva:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_2}=\frac{1}{6\cdot 3{,}2675}\approx 0{,}05102\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total sem isolante:
R_{\text{tot,a}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{conv}}\approx 0{,}0001831+0{,}05102\approx 0{,}051203\\ \mathrm{K/W}.ç
Potência perdida Q (diferença T_{s,\text{int}}-T_\infty=50-25=25\\ \mathrm{K}):
Q=\frac{25}{R_{\text{tot,a}}}=\frac{25}{0{,}051203}\approx 488{,}2\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: A resistência dominante é a convecção externa; a parede de aço, sendo fina e condutora, contribui pouco para a resistência.

Passo 4

Agora colocamos o isolante de fibra de vidro no exterior e a geração continua a mesma (logo Q permanece igual ao obtido na parte (a)). Com a nova série de resistências, encontramos a nova temperatura da superfície interna.
Novos raios:
r_3=r_2+t_{\text{iso}}=0{,}51+0{,}02=0{,}53\\ \mathrm{m}.
Resistência de condução do isolante (entre r_2 e r_3):
R_{\text{iso}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{iso}}}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right).
Cálculo das inversas:
\frac{1}{r_2}\approx1{,}9607843\\ \mathrm{m^{-1}},\qquad \frac{1}{r_3}=\frac{1}{0{,}53}\approx1{,}8867925\\ \mathrm{m^{-1}}.
Diferença:
\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\approx 0{,}0739918\\ \mathrm{m^{-1}}.
E
\frac{1}{4\pi k_{\text{iso}}}=\frac{1}{4\pi\cdot 0{,}04}=\frac{1}{0{,}16\pi}\approx 1{,}989437\\ \mathrm{(K\cdot m)/W}.
Portanto
R_{\text{iso}}\approx 1{,}989437\times 0{,}0739918\approx 0{,}14717\\ \mathrm{K/W}.
Área externa da camada isolante (para convecção) com raio r_3:
A_3=4\pi r_3^2=4\pi(0{,}53)^2=4\pi\cdot 0{,}2809\approx 3{,}5288\\ \mathrm{m^2}.
Resistência convectiva agora:
R_{\text{conv,novo}}=\frac{1}{h A_3}=\frac{1}{6\cdot 3{,}5288}\approx 0{,}04724\\ \mathrm{K/W}.
Somando todas as resistências em série (aço + isolante + convecção externa):
R_{\text{tot,b}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{iso}}+R_{\text{conv,novo}} \approx 0{,}0001831+0{,}14717+0{,}04724\approx 0{,}19459\\ \mathrm{K/W}.ç
A geração de potência não mudou, então Q permanece aproximadamente 488{,}2\\ \mathrm{W} (valor calculado em (a)). A nova temperatura da superfície interna é:
T_{s,\text{int,new}}=T_\infty + Q\,R_{\text{tot,b}} =25 + 488{,}2\cdot 0{,}19459 \approx 25 + 94{,}99 \approx 119{,}99^\circ\mathrm{C}.
Arredondando apropriadamente: T_{s,\text{int,new}}\approx 120{,}0^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a adição do isolante aumenta muito a resistência térmica (a camada isolante tem baixa condutividade), de modo que para a mesma geração a temperatura interna sobe bastante — de 50^\circ\mathrm{C} (condição original) para cerca de 120^\circ\mathrm{C} com o isolante.

Passo 5

Resumo numérico dos principais valores intermediários (para conferência):
  • R_{\text{aço}}\approx 1{,}83\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.ç
  • Sem isolante: A_2\approx 3{,}2675\\ \mathrm{m^2}, R_{\text{conv}}\approx 0{,}05102\\ \mathrm{K/W}, R_{\text{tot,a}}\approx0{,}05120\\ \mathrm{K/W}, Q\approx 488{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Com isolante: A_3\approx 3{,}5288\\ \mathrm{m^2}, R_{\text{iso}}\approx0{,}14717\\ \mathrm{K/W}, R_{\text{conv,novo}}\approx0{,}04724\\ \mathrm{K/W}, R_{\text{tot,b}}\approx0{,}19459\\ \mathrm{K/W}, T_{s,\text{int,new}}\approx120{,}0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) Q\approx 488{,}2\\ \mathrm{W}
(b) T_{s,\text{int}}\approx 120{,}0^\circ\mathrm{C}

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