Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau
é contínuo em
; ou seja
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio de grau n é contínuo em a, isto é, que
O conteúdo usado será: propriedades de limite (constante, identidade, soma, produto) e continuidade de funções elementares.
Passo 2
Primeiro lembramos que a função constante f(x)=c satisfaz
e que a função identidade f(x)=x satisfaz
Como soma e produto de limites existem quando cada limite existe, concluímos que qualquer monômio x^k é contínuo em a, pois podemos escrever x^k como produto de x por si mesmo k vezes.
Passo 3
Para formalizar, fazemos indução em k: para k=1 já temos continuidade. Supondo x^k contínua, então
Assim x^k é contínua ∀k.
Passo 4
Finalmente, um polinômio P(x)=∑_{k=0}^n a_k x^k é soma de funções contínuas multiplicadas por constantes a_k. Logo,