Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau n é contínuo em a; ou seja lim x a an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0=an a^n+an-1 a^n-1+ldots+a1 a+a0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio de grau n é contínuo em a, isto é, que
limxto al(anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0r) = ana^n + an-1a^n-1 + cdots + a1a + a0
O conteúdo usado será: propriedades de limite (constante, identidade, soma, produto) e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Primeiro lembramos que a função constante f(x)=c satisfaz
limxto ac = c
e que a função identidade f(x)=x satisfaz
limxto ax = a
Como soma e produto de limites existem quando cada limite existe, concluímos que qualquer monômio x^k é contínuo em a, pois podemos escrever x^k como produto de x por si mesmo k vezes.

Passo 3

Para formalizar, fazemos indução em k: para k=1 já temos continuidade. Supondo x^k contínua, então
limxto ax^k+1 = limxto a(x^k cdot x) = l(limxto ax^kr)cdot l(limxto axr) = a^k cdot a = a^k+1
Assim x^k é contínua ∀k.

Passo 4

Finalmente, um polinômio P(x)=∑_{k=0}^n a_k x^k é soma de funções contínuas multiplicadas por constantes a_k. Logo,
limxto aP(x) = sumk=0^n ak limxto ax^k = sumk=0^n ak a^k = P(a)

Resposta

limxto al(anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0r) = ana^n + an-1a^n-1 + cdots + a1a + a0.

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