Use o teorema de Green para calcular a integral de linha , onde é fronteira da região limitada pelas curvas .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , e é a fronteira da região entre dois círculos: um de raio 2 () e outro de raio 3 (). Então, vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que delimita. A fórmula é:
Aqui, identificamos e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla:
Como a região é a área entre dois círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos substituir para transformar a integral em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Integramos em :
Sabemos que integral0^2pi sin theta , dtheta = 0, então essa parte da integral é zero.
Passo 8
Segunda integral:
integral0^2pi integral2^3 3r^3 sin^2 theta , dr , dtheta