Use o teorema de Green para calcular a integral de linha integralC(2 x-y^3) d x-x y d y, onde C é fronteira da região limitada pelas curvas x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é integralC (2x - y^3) , dx - xy , dy, e C é a fronteira da região entre dois círculos: um de raio 2 ( x^2 + y^2 = 4) e outro de raio 3 ( x^2 + y^2 = 9). Então, vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D que C delimita. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, identificamos P = 2x - y^3 e Q = -xy.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (-xy)partial x = -y
partial Ppartial y = partial (2x - y^3)partial y = -3y^2
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y - (-3y^2) = -y + 3y^2

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (-y + 3y^2) , dx , dy
Como a região D é a área entre dois círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
dx , dy = r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos substituir para transformar a integral em coordenadas polares:
integral duplaD (-y + 3y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral2^3 [ -r sin theta + 3 (r sin theta)^2 ] r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral0^2pi integral2^3 ( -r^2 sin theta + 3r^3 sin^2 theta ) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
= integral0^2pi integral2^3 -r^2 sin theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^3 3r^3 sin^2 theta , dr , dtheta
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
integral0^2pi integral2^3 -r^2 sin theta , dr , dtheta
Integramos em r:
= integral0^2pi [ -r^33 sin theta |2^3 ] dtheta = integral0^2pi ( -273 sin theta + 83 sin theta ) dtheta = integral0^2pi -193 sin theta , dtheta
Sabemos que integral0^2pi sin theta , dtheta = 0, então essa parte da integral é zero.

Passo 8

Segunda integral:
integral0^2pi integral2^3 3r^3 sin^2 theta , dr , dtheta
Primeiro, integramos em r:
= 3 integral0^2pi [ r^44 sin^2 theta |2^3 ] dtheta = 3 integral0^2pi ( 814 sin^2 theta - 164 sin^2 theta ) dtheta = 3 integral0^2pi 654 sin^2 theta , dtheta
Simplificando:
= 1954 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta

Passo 9

Para calcular integral0^2pi sin^2 theta , dtheta, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = 12 integral0^2pi (1 - cos 2theta) , dtheta = 12 [ theta - sin 2theta2 |0^2pi ] = 12 (2pi - 0) = pi

Passo 10

Substituindo de volta:
1954 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = 1954 cdot pi = 195pi4

Resposta

A integral de linha vale 195pi4.

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