Dada a curva f(t)=(t, 2 cos (t), 2 sen(t))
Determine o comprimento da curva f, no intervalo 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica f(t)=(t,2cos t,2sin t) para 0<= t<=pi. O conteúdo aqui é comprimento de curva no espaço e vamos usar a fórmula do elemento de arco, que exige a derivada de f(t).

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(t). Derivando cada componente de f(t) em relação a t temos:
f'(t)=l(1,,-2sin t,,2cos tr)

Passo 3

Agora precisamos do módulo de f'(t). Aplicando a definição |f'(t)|=raiz(f'1)^2+(f'2)^2+(f'3)^2, obtemos:
|f'(t)|=raiz1^2+(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =raiz1+4sin^2t+4cos^2t=raiz1+4(sin^2t+cos^2t)=raiz5

Passo 4

Como o módulo é constante, o comprimento L é dado por L=integral0^pi|f'(t)|,dt. Substituindo |f'(t)|=raiz5 obtemos:
L=integral0^piraiz5,dt=raiz5integral0^pi dt=piraiz5

Resposta

piraiz5

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