A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
f(x)=sen x-xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{\sin x - x}{x^{3}} $. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de potências de $ x $. Para isso, vamos usar as séries de Maclaurin das funções trigonométricas que já estudamos em sala e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função seno. A série de Maclaurin para $ \sin x $ é:
sin x
Isso significa que podemos escrever $ \sin x $ como uma soma infinita de termos com potências ímpares de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão $ \sin x - x $ usando a série que acabamos de lembrar:
sin x - x
Simplificando, o termo $ x $ se cancela:
sin x - x = ( x - x^33! + x^55! - x^77! + dots ) - x

Passo 4

Agora, queremos dividir essa expressão por $ x^{3} $ para encontrar $ f(x) $:
x^3
Vamos dividir cada termo por $ x^{3} $:
f(x)

Passo 5

Simplificando as fatoriais, temos:
f(x) = -16 + x^2120 - x^45040 + dots
Isso nos dá a série de Maclaurin para a função $ f(x) $.

Resposta

A série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{\sin x - x}{x^{3}} $ é:
f(x) = sin x - xx^3

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