A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{\sin x - x}{x^{3}} $. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de potências de $ x $. Para isso, vamos usar as séries de Maclaurin das funções trigonométricas que já estudamos em sala e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função seno. A série de Maclaurin para $ \sin x $ é:
Isso significa que podemos escrever $ \sin x $ como uma soma infinita de termos com potências ímpares de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos montar a expressão $ \sin x - x $ usando a série que acabamos de lembrar:
Simplificando, o termo $ x $ se cancela:
Passo 4
Agora, queremos dividir essa expressão por $ x^{3} $ para encontrar $ f(x) $:
Vamos dividir cada termo por $ x^{3} $:
Passo 5
Simplificando as fatoriais, temos:
Isso nos dá a série de Maclaurin para a função $ f(x) $.
Resposta
A série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{\sin x - x}{x^{3}} $ é: