Calcular a derivada das funções:
4.3 y=(2 x+1) cdot e^1-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=(2x+1)e^1-x. O conteúdo principal aqui é a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas de exponenciais; vamos usar a definição de derivada de uma exponencial e a fórmula da derivada de um produto.

Passo 2

Identificamos as duas partes da função: u(x)=2x+1 e v(x)=e^1-x. Pela regra do produto, y'=u'v+uv'. Calculamos primeiro u'(x) e depois v'(x).

Passo 3

Como u(x)=2x+1, temos
u'(x)=2

Passo 4

Para v(x)=e^1-x, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de e^g(x) é e^g(x)g'(x). Aqui g(x)=1-x e g'(x)=-1, logo
v'(x)=e^1-xtimes(-1)=-e^1-x

Passo 5

Substituindo em y'=u'v+uv' resulta
y'=2e^1-x + (2x+1)(-e^1-x)

Passo 6

Colocando em evidência e^1-x:
y'=e^1-xl(2 - (2x+1)r)=e^1-x(2 - 2x -1)=e^1-x(1-2x)

Resposta

y'=(1-2x)e^1-x

Exercícios relacionados