Calcular a derivada das funções:
4.8 y=1+x^21-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional y=1+x^21-x^2. O conteúdo envolvido é derivação de quociente de funções, e vamos usar a regra do quociente, que exige derivar numerador e denominador.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, identificamos o numerador N(x)=1+x^2 e o denominador D(x)=1-x^2. Calculamos suas derivadas:
N'(x)=ddx(1+x^2)=2x,
D'(x)=ddx(1-x^2)=-2x

Passo 3

A regra do quociente diz que
y'=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)l(D(x)r)^2

Passo 4

Substituindo as funções e suas derivadas:
y'=2x(1-x^2)-(1+x^2)(-2x)(1-x^2)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
2x(1-x^2)-(1+x^2)(-2x)=2x-2x^3+2x+2x^3=4x

Passo 6

Portanto, a derivada fica:
y'=4x(1-x^2)^2

Resposta

y'=4x(1-x^2)^2

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