A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
f(x)=e^x^2-1-x^2x^4

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a série de Maclaurin de f(x)=e^x^2-1-x^2x^4 sem usar a definição integral, apenas usando séries já conhecidas e suas propriedades. O conteúdo aqui é séries de Maclaurin, em particular da exponencial, e vamos precisar da expansão de e^t, substituindo t=x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^t é e^t=sumk=0^inftyt^kk!. Fazendo t=x^2, temos:
e^x^2= sumk=0^infty(x^2)^kk! =1 + x^2 + x^42! + x^63! + x^84! + cdots

Passo 3

Agora subtraímos 1 e x^2 de e^x^2 para montar o numerador de f(x):
e^x^2-1-x^2= x^42! + x^63! + x^84! + cdots

Passo 4

Por fim, dividimos termo a termo por x^4. Cada termo x^2k/k! do numerador vira x^2k-4/k!. Se escrevemos k=m+2, então 2k-4=2m e k!=(m+2)!. Logo:
f(x)=e^x^2-1-x^2x^4= summ=0^inftyx^2m(m+2)! =12 + x^26 + x^424 + x^6120 + cdots

Resposta

A série de Maclaurin de f(x) é
12 + x^26 + x^424 + x^6120 + cdots

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