Desenhe a região limitada pelas curvas. Represente a área da região por uma ou mais integrais (a) em termos de x; (b) em termos de y.
y=-raizx, y=6-x, y=0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região limitada pelas curvas y=-raizx, y=6-x e y=0 e representar sua área por integrais em duas maneiras: em função de x e em função de y. Vamos usar o princípio de que a área de uma região é dada por integrais das diferenças entre a fronteira superior e a fronteira inferior.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção para entender o contorno da região. Soluções:
y=-raizx com y=0 raizx=0 x=0, ponto (0,0).
y=6-x com y=0 6-x=0 x=6, ponto (6,0).
y=-raizx com y=6-x faz -raizx=6-x. Seja t=raizx, tem -t=6-t^2 t^2-t-6=0 t=3 (descartamos t=-2). Logo x=9 e y=-3, ponto (9,-3).

Passo 3

Esboçando: a curva y=-raizx une (0,0) a (9,-3); o eixo y=0 une (0,0) a (6,0); a reta y=6-x une (6,0) a (9,-3).

Passo 4

Para integração em x, dividimos em dois trechos onde a fronteira superior muda: de x=0 a 6, o topo é y=0 e o fundo é y=-raizx; de x=6 a 9, o topo é y=6-x e o fundo continua y=-raizx. Assim:
A=integral0^6l(0-(-raizx)r),dx+integral6^9l((6-x)-(-raizx)r),dx

Passo 5

Para integração em y, usamos fatias horizontais. y varia de -3 (menor valor) até 0. Em cada y, a fronteira esquerda é dada por x=y^2 (da curva) e a direita por x=6-y (da reta). Logo:
A=integral-3^0l((6-y)-y^2r),dy

Resposta

(a) A=integral0^6raizx,dx+integral6^9l(6-x+raizxr),dx
(b) A=integral-3^0l(6-y-y^2r),dy

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