Desenhe a região limitada pelas curvas. Represente a área da região por uma ou mais integrais (a) em termos de
; (b) em termos de
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região limitada pelas curvas
,
e
e representar sua área por integrais em duas maneiras: em função de
e em função de
. Vamos usar o princípio de que a área de uma região é dada por integrais das diferenças entre a fronteira superior e a fronteira inferior.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção para entender o contorno da região. Soluções:
• com
dá
⇒
, ponto
.
• com
dá
⇒
, ponto
.
• com
faz
. Seja
, tem
⇒
⇒
(descartamos
). Logo
e
, ponto
.
•
•
•
Passo 3
Esboçando: a curva
une
a
; o eixo
une
a
; a reta
une
a
.
Passo 4
Para integração em
, dividimos em dois trechos onde a fronteira superior muda: de
a
, o topo é
e o fundo é
; de
a
, o topo é
e o fundo continua
. Assim:
Passo 5
Para integração em
, usamos fatias horizontais.
varia de
(menor valor) até
. Em cada
, a fronteira esquerda é dada por
(da curva) e a direita por
(da reta). Logo:
Resposta
(a)
(b)