A base de um sólido está no plano x y, delimitada por y=x^2 e y=1. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados. Determine o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano xy é a região limitada por y = x^2 e y = 1, e cujas seções transversais, obtidas por planos perpendiculares ao eixo x, são quadrados. Vamos usar o método de seções sucessivas, que consiste em integrar a área da seção transversal ao longo de x.

Passo 2

Para cada fatia em uma posição x fixa, a aresta do quadrado é dada pela distância vertical entre as curvas y=1 e y=x^2. Logo, definimos
s(x) = 1 - x^2
A área da seção quadrada em x é o quadrado de s(x):
A(x) = [s(x)]^2 = (1 - x^2)^2

Passo 3

Os limites de x vêm da interseção x^2 = 1, ou seja, de x=-1 até x=1. Portanto, o volume é dado por
V = integral-1^1 A(x) ,dx = integral-1^1 (1 - x^2)^2 ,dx

Passo 4

Para calcular essa integral, primeiro expandimos o integrando:
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
Então,
V = integral-1^1 (1 - 2x^2 + x^4) ,dx = l[x - tfrac2x^33 + tfracx^55r]-1^1

Passo 5

Avaliando nos limites: em x=1 temos 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815 e em x=-1 temos -1 + tfrac23 - tfrac15 = -tfrac815. Subtraindo,
V = tfrac815 - (-tfrac815) = tfrac1615

Resposta

V = tfrac1615

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