Resolva as integrais abaixo (use integração por partes quando necessário):
(Dica: Substitua
antes de integrar por partes.)
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo principal é integração por partes, junto com a integral da função gaussiana que leva à função erro (erf). Vamos usar integração por partes e, depois, reconhecer a integral de
.
Passo 2
Reescrevemos a integral de modo a aplicar integração por partes: note que
. Então escolhemos
e
. Assim teremos
e precisamos encontrar
.
Passo 3
Para calcular
, fazemos a substituição interna
, logo
e
. Assim
$$V = \int x e{-x2},dx = \int e^{t}\Bigl(-\tfrac12,dt\Bigr) = -\tfrac12 e^{t} = -\tfrac12 e{-x2}.
$$
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes
:
$$\int x^2 e{-x2},dx = U,V - \int V,dU = x\Bigl(-\tfrac12 e{-x2}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac12 e{-x2}\Bigr),dx.
$$
Passo 5
A integral
é a função erro (erf). Sabemos que
$$\int e{-x2},dx = \tfrac{\sqrt\pi}{2}\erf(x) + C.
$$