Resolva as integrais abaixo (use integração por partes quando necessário):
integral x^2 e^-x^2 d x (Dica: Substitua u=x^2 antes de integrar por partes.)

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^2 e^-x^2,dx. O conteúdo principal é integração por partes, junto com a integral da função gaussiana que leva à função erro (erf). Vamos usar integração por partes e, depois, reconhecer a integral de e^-x^2.

Passo 2

Reescrevemos a integral de modo a aplicar integração por partes: note que x^2 e^-x^2 = x cdot (x e^-x^2). Então escolhemos U = x e dV = x e^-x^2,dx. Assim teremos dU = dx e precisamos encontrar V = integral x e^-x^2,dx.

Passo 3

Para calcular V, fazemos a substituição interna t = -x^2, logo dt = -2x,dx e x,dx = -tfrac12,dt. Assim
$$V = \int x e{-x2},dx = \int e^{t}\Bigl(-\tfrac12,dt\Bigr) = -\tfrac12 e^{t} = -\tfrac12 e{-x2}.
$$

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes integral U,dV = UV - integral V,dU:
$$\int x^2 e{-x2},dx = U,V - \int V,dU = x\Bigl(-\tfrac12 e{-x2}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac12 e{-x2}\Bigr),dx.
integral x^2 e^-x^2,dx = U,V - integral V,dU = xl(-tfrac12 e^-x^2r) - integral l(-tfrac12 e^-x^2r),dx á\int x^2 e{-x2},dx = -\tfrac12 x e{-x2} + \tfrac12 \int e{-x2},dx + C.
$$

Passo 5

A integral integral e^-x^2,dx é a função erro (erf). Sabemos que
$$\int e{-x2},dx = \tfrac{\sqrt\pi}{2}\erf(x) + C.
integral e^-x^2,dx = tfracraizpi2erf(x) + C \int x^2 e{-x2},dx = -\tfrac12 x e{-x2} + \tfrac12 \cdot \tfrac{\sqrt\pi}{2}\erf(x) + C = -\tfrac{x e{-x2}}{2} + \tfrac{\sqrt\pi}{4}\erf(x) + C.
$$

Resposta

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