Use indução matemática para mostrar que
e^i theta1 e^i theta2 cdots e^i thetan=e^i(theta1+theta2+cdots+thetan) (n=2,3, ldots)

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando indução matemática, que o produto de várias potências de $ e $ com números imaginários no expoente é igual a $ e $ elevado à soma desses expoentes. Em outras palavras, temos que provar que:
e
Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que valem para todos os inteiros naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar entender como multiplicar potências com a mesma base e como somar os expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base da indução, ou seja, quando $ n = 2 $. Precisamos ver se a afirmação vale para $ n = 2 $.
Temos:
n = 2
Isso é verdade porque, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Portanto, para $ n = 2 $, a equação está correta.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação vale para algum $ n = k $, ou seja, assumimos que:
n = k
Essa é a hipótese de indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a afirmação também é verdadeira para $ n = k + 1 $.

Passo 4

Vamos agora provar que, se a afirmação vale para $ n = k $, ela também vale para $ n = k + 1 $. Ou seja, precisamos mostrar que:
n = k
Usando a hipótese de indução, sabemos que o produto dos primeiros $ k $ termos é igual a $ e^{i\left(\theta_{1} + \theta_{2} + \cdots + \theta_{k}\right)} $. Então, multiplicamos esse resultado pelo próximo termo $ e^{i \theta_{k+1}} $:
n = k + 1
Mais uma vez, usamos a regra de que ao multiplicar potências com a mesma base, somamos os expoentes. Portanto, a afirmação é válida para $ n = k + 1 $.

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 2 $:
n >= 2

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