Use indução matemática para mostrar que
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando indução matemática, que o produto de várias potências de $ e $ com números imaginários no expoente é igual a $ e $ elevado à soma desses expoentes. Em outras palavras, temos que provar que:
Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que valem para todos os inteiros naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar entender como multiplicar potências com a mesma base e como somar os expoentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base da indução, ou seja, quando $ n = 2 $. Precisamos ver se a afirmação vale para $ n = 2 $.
Temos:
Isso é verdade porque, quando você multiplica potências com a mesma base, você soma os expoentes. Portanto, para $ n = 2 $, a equação está correta.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação vale para algum $ n = k $, ou seja, assumimos que:
Essa é a hipótese de indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a afirmação também é verdadeira para $ n = k + 1 $.
Passo 4
Vamos agora provar que, se a afirmação vale para $ n = k $, ela também vale para $ n = k + 1 $. Ou seja, precisamos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, sabemos que o produto dos primeiros $ k $ termos é igual a $ e^{i\left(\theta_{1} + \theta_{2} + \cdots + \theta_{k}\right)} $. Então, multiplicamos esse resultado pelo próximo termo $ e^{i \theta_{k+1}} $:
Mais uma vez, usamos a regra de que ao multiplicar potências com a mesma base, somamos os expoentes. Portanto, a afirmação é válida para $ n = k + 1 $.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 2 $: