Seja 0. Então, toda solução de y^prime prime+b y^prime+y=0 tende a zero quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado 0<b<2, toda solução da EDO y''+b y'+y=0 tende a zero quando ttoinfty. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, e para resolver vamos usar a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
lambda^2 + b,lambda + 1 = 0
Essa equação nos diz quais expoentes aparecem na solução geral.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
lambda = -b pm raizb^2 - 42
Como 0<b<2, temos b^2<4, logo b^2-4<0. Isso implica que as raízes são complexas conjugadas:
lambda = -b2 pm i,raiz4-b^22

Passo 4

Quando as raízes são complexas com parte real negativa, a solução geral se escreve como exponencial decrescente vezes funções senoidais. A forma geral da solução fica:
y(t) = e^-b2tl(C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t)r),
onde omega = tfracraiz4-b^22. Como o fator e^-tfracb2t tende a zero quando ttoinfty, concluímos que qualquer escolha de C1,C2 faz y(t)to 0.

Resposta

Como as raízes da equação característica são -tfracb2pm itfracraiz4-b^22 com parte real -b/2<0, toda solução de y''+b y'+y=0 tende a zero quando ttoinfty.

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