Seja
. Então, toda solução de
tende a zero quando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado 0<b<2, toda solução da EDO
tende a zero quando
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, e para resolver vamos usar a equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO:
Essa equação nos diz quais expoentes aparecem na solução geral.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Como 0<b<2, temos
, logo
. Isso implica que as raízes são complexas conjugadas:
Passo 4
Quando as raízes são complexas com parte real negativa, a solução geral se escreve como exponencial decrescente vezes funções senoidais. A forma geral da solução fica:
onde
. Como o fator
tende a zero quando
, concluímos que qualquer escolha de
faz
.
Resposta
Como as raízes da equação característica são
com parte real
, toda solução de
tende a zero quando
.