A base de um sólido é uma região plana limitada por uma elipse com semieixo maior de 4 unidades e semieixo menor de 3 unidades. Cada secção do corte perpendicular ao eixo maior da elipse é um semicírculo. Calcule o volume do sólido.
Passo 1
O problema diz que a base do sólido é a região plana limitada por uma elipse de semieixos maiores a=4 e b=3, e que cada corte perpendicular ao eixo maior (eixo x) é um semicírculo. Vamos usar integração por fatias para calcular o volume.
Passo 2
A equação da elipse é
. Para um dado
entre
e
, a largura vertical da elipse é de
, onde
Logo o diâmetro do semicírculo é
e seu raio é
Passo 3
A área da secção transversal (um semicírculo) é metade da área de um círculo de raio
:
Passo 4
Para obter o volume, integramos
de
até
:
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Passo 6
Substituindo em
: