A base de um sólido é uma região plana limitada por uma elipse com semieixo maior de 4 unidades e semieixo menor de 3 unidades. Cada secção do corte perpendicular ao eixo maior da elipse é um semicírculo. Calcule o volume do sólido.

Passo 1

O problema diz que a base do sólido é a região plana limitada por uma elipse de semieixos maiores a=4 e b=3, e que cada corte perpendicular ao eixo maior (eixo x) é um semicírculo. Vamos usar integração por fatias para calcular o volume.

Passo 2

A equação da elipse é x^24^2+y^23^2=1. Para um dado x entre -4 e 4, a largura vertical da elipse é de 2y, onde
y=3raiz1-x^216
Logo o diâmetro do semicírculo é
D(x)=2y=6raiz1-x^216
e seu raio é
r(x)=D(x)2=3raiz1-x^216

Passo 3

A área da secção transversal (um semicírculo) é metade da área de um círculo de raio r(x):
A(x)=12pil(r(x)r)^2=12pil[3^2l(1-x^216r)r]=9pi2l(1-x^216r)

Passo 4

Para obter o volume, integramos A(x) de x=-4 até x=4:
V=integral-4^4A(x),dx=9pi2integral-4^4l(1-x^216r)dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral-4^41,dx=8,integral-4^4x^2,dx=1283

Passo 6

Substituindo em V:
V=9pi2l(8-116cdot1283r)=9pi2l(8-83r)=9pi2cdot163=24pi

Resposta

24pi

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