Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pelas parábolas y^2=x e y=x^2 gira em torno de:
y=-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=−3 a região limitada pelas parábolas y²=x e y=x². O conteúdo é volume de revolução usando o método dos discos (ou anéis). Vamos precisar: achar os pontos de interseção, expressar as curvas como funções de x e montar a integral com raios externo e interno.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos simultaneamente y²=x e y=x². Substituindo x=y² em y=x² gera y=(y²)²=y⁴, isto é y⁴−y=0. Logo y=0 ou y=1. Correspondem aos pares (x,y)=(0,0) e (1,1).
Entre x=0 e x=1, a curva inferior da região é y=x² e a curva superior é y=√x. Portanto, para cada x∈[0,1], y varia de yₗ=x² até yₘ=√x.

Passo 3

Ao girar em torno de y=−3 usamos o método dos anéis: para cada fatia vertical em x, o raio externo é a distância de y=√x até y=−3 e o raio interno é a distância de y=x² até y=−3. Assim temos
R(x)=l(raizxr) -(-3)=raizx+3,
r(x)=l(x^2r)-(-3)=x^2+3

Passo 4

O volume é dado por
V=piintegral0^1l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx=piintegral0^1l[(raizx+3)^2 - (x^2+3)^2r],dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(raizx+3)^2 = x + 6raizx +9,
(x^2+3)^2 = x^4 +6x^2 +9,
portanto
(raizx+3)^2 - (x^2+3)^2 = -x^4 -6x^2 + x +6x^1/2

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral0^1 -x^4,dx = -15, integral0^1 -6x^2,dx = -2,
integral0^1 x,dx = 12, integral0^1 6x^1/2,dx = 4

Passo 7

Somando:
V = pil(-tfrac15 -2 + tfrac12 +4r) = pil(tfrac2310r)

Resposta

O volume do sólido é 23pi10.

Exercícios relacionados