Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada pelas parábolas
e
gira em torno de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=−3 a região limitada pelas parábolas y²=x e y=x². O conteúdo é volume de revolução usando o método dos discos (ou anéis). Vamos precisar: achar os pontos de interseção, expressar as curvas como funções de x e montar a integral com raios externo e interno.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos simultaneamente y²=x e y=x². Substituindo x=y² em y=x² gera y=(y²)²=y⁴, isto é y⁴−y=0. Logo y=0 ou y=1. Correspondem aos pares (x,y)=(0,0) e (1,1).
Entre x=0 e x=1, a curva inferior da região é y=x² e a curva superior é y=√x. Portanto, para cada x∈[0,1], y varia de yₗ=x² até yₘ=√x.
Entre x=0 e x=1, a curva inferior da região é y=x² e a curva superior é y=√x. Portanto, para cada x∈[0,1], y varia de yₗ=x² até yₘ=√x.
Passo 3
Ao girar em torno de y=−3 usamos o método dos anéis: para cada fatia vertical em x, o raio externo é a distância de y=√x até y=−3 e o raio interno é a distância de y=x² até y=−3. Assim temos
Passo 4
O volume é dado por
Passo 5
Expandindo o integrando:
portanto
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
Passo 7
Somando:
Resposta
O volume do sólido é
.