A região limitada pelas curvas
e
, gira em torno da reta
. Determine o volume do sólido gerado.
Passo 1
A região dada é limitada pela hipérbole
e pela reta vertical
, e gira em torno da reta
. O conteúdo aqui é volume de revolução, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos (shells).
Passo 2
Para aplicar o método dos cascos, parametrizamos em
. Note que a hipérbole tem ramo direito para
, então
varia de
a
. Para cada
, a altura do casco é a distância entre as curvas superior e inferior:
Passo 3
O raio do casco é a distância ao eixo
, ou seja,
, e a espessura é
. Logo, o volume de um casco elementar é
Passo 4
Precisamos então calcular
Passo 5
Para resolver
, fazemos a substituição
, logo
e
. Assim
Passo 6
Avaliando de
a
dá
Passo 7
Logo, o volume final é
Resposta
4\sqrt{3}\pi a^3