A região limitada pelas curvas x^2-y^2=a^2 e x=2 a, a>0, gira em torno da reta x=0. Determine o volume do sólido gerado.

Passo 1

A região dada é limitada pela hipérbole x^2 - y^2 = a^2 e pela reta vertical x = 2a, e gira em torno da reta x = 0. O conteúdo aqui é volume de revolução, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos (shells).

Passo 2

Para aplicar o método dos cascos, parametrizamos em x. Note que a hipérbole tem ramo direito para x>= a, então x varia de a a 2a. Para cada x, a altura do casco é a distância entre as curvas superior e inferior:
a

Passo 3

O raio do casco é a distância ao eixo x=0, ou seja, r = x, e a espessura é dx. Logo, o volume de um casco elementar é
dV = 2pi,r,(a

Passo 4

Precisamos então calcular
V = integralx=a^2a 4pi xraizx^2 - a^2,dx = 4piintegrala^2a xraizx^2 - a^2,dx

Passo 5

Para resolver I=integral xraizx^2 - a^2,dx, fazemos a substituição u = x^2 - a^2, logo du = 2x,dx e x,dx = du/2. Assim
I = integral xraizx^2 - a^2,dx = 12integral u^1/2,du = 12cdot23u^3/2 = 13(x^2 - a^2)^3/2

Passo 6

Avaliando de x=a a x=2a
integrala^2a xraizx^2 - a^2,dx = 13l[(2a)^2 - a^2r]^3/2 - 13l[a^2 - a^2r]^3/2 = 13(3a^2)^3/2 = raiz3,a^3

Passo 7

Logo, o volume final é
V = 4pi times l(raiz3,a^3r) = 4raiz3,pi,a^3

Resposta

4\sqrt{3}\pi a^3

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