Mostre que
(j) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2raizy^2+1-1=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) tende a (0,0). O conteúdo envolve limites em R^2 e a técnica de racionalização de denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raizy^2+1+1. Temos:
x^2y^2raizy^2+1-1;=;x^2y^2l(raizy^2+1+1r)(raizy^2+1-1)(raizy^2+1+1)
No denominador reconhecemos a diferença de quadrados, pois
$$
(\sqrt{y2+1}-1)(\sqrt{y2+1}+1)=y2+1-1=y2.
(raizy^2+1-1)(raizy^2+1+1)=y^2+1-1=y^2 ã\frac{x2y2\bigl(\sqrt{y2+1}+1\bigr)}{y2}=x2\bigl(\sqrt{y2+1}+1\bigr).$$

Passo 3

Agora vamos mostrar que esse resultado tende a zero. Note que para |y|<=1 temos raizy^2+1<=raiz2. Assim
|x^2(raizy^2+1+1)|<= x^2(raiz2+1)
Dado varepsilon>0, escolha
$$\delta=\min\bigl(1,,\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{\sqrt2+1}}\bigr).
deã
|f(x,y)|\le x2(\sqrt2+1)<\delta2(\sqrt2+1)\le\varepsilon.
$$
Isso mostra que o limite vale zero por definição.

Passo 4

Portanto, a função tende a 0 quando (x,y)to(0,0).

Resposta

0

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