Mostre que
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
tende a
. O conteúdo envolve limites em
e a técnica de racionalização de denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
. Temos:
No denominador reconhecemos a diferença de quadrados, pois
$$
(\sqrt{y2+1}-1)(\sqrt{y2+1}+1)=y2+1-1=y2.
Passo 3
Agora vamos mostrar que esse resultado tende a zero. Note que para
temos
. Assim
Dado
, escolha
$$\delta=\min\bigl(1,,\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{\sqrt2+1}}\bigr).
|f(x,y)|\le x2(\sqrt2+1)<\delta2(\sqrt2+1)\le\varepsilon.
$$
Isso mostra que o limite vale zero por definição.
Isso mostra que o limite vale zero por definição.
Passo 4
Portanto, a função tende a
quando
.
Resposta
0