A base de um sólido é uma região plana limitada pela hipérbole de equação 16 x^2-9 y^2=144 e a reta x=6. Cada seção de corte do sólido, perpendicular ao eixo O X, é um triângulo equilátero. Calcule o volume do sólido.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede: temos um sólido cuja base é a região do plano limitada pela hipérbole 16x^2 - 9y^2 = 144 e pela reta x = 6. Cada seção perpendicular ao eixo OX é um triângulo equilátero. Precisamos usar integração em fatias para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, isolamos y na equação da hipérbole para achar a extensão da base em função de x. Da equação 16x^2 - 9y^2 = 144 vem
$$9y^2 = 16x^2 - 144 \implies y^2 = \frac{16x^2 - 144}{9} \implies y = \pm \frac{4}{3}\sqrt{x^2 - 9}.
$$Como a hipérbole abre para 9y^2 = 16x^2 - 144 implies y^2 = 16x^2 - 1449 implies y = pm 43raizx^2 - 9 , o intervalo de integração em x>=3 é de x até 3.

Passo 3

A cada posição x o lado do triângulo equilátero vale o comprimento do segmento em y, isto é
$$s(x) = 2\cdot \frac{4}{3}\sqrt{x^2 - 9} = \frac{8}{3}\sqrt{x^2 - 9}.
$$

Passo 4

A área do triângulo equilátero de lado s é A = raiz34s^2. Logo, em função de x:
$$A(x) = \frac{\sqrt3}{4}\Bigl(\frac{8}{3}\sqrt{x^2 - 9}\Bigr)^2 = \frac{16\sqrt3}{9},(x^2 - 9).
$$

Passo 5

O volume é a integral de A(x) de x=3 até x=6:
V = integral3^6 A(x),dx = 16raiz39 integral3^6 (x^2 - 9),dx
Calculando:
integral3^6(x^2 - 9),dx = l[x^33 - 9xr]3^6 = (72 - 54) - (9 - 27) = 18 - (-18)=36
Logo
$$V = \frac{16\sqrt3}{9}\cdot 36 = 64\sqrt3.
$$

Resposta

64raiz3

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