A base de um sólido é uma região plana limitada pela hipérbole de equação
e a reta
. Cada seção de corte do sólido, perpendicular ao eixo
, é um triângulo equilátero. Calcule o volume do sólido.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema pede: temos um sólido cuja base é a região do plano limitada pela hipérbole
e pela reta
. Cada seção perpendicular ao eixo
é um triângulo equilátero. Precisamos usar integração em fatias para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, isolamos
na equação da hipérbole para achar a extensão da base em função de
. Da equação
vem
$$9y^2 = 16x^2 - 144 \implies y^2 = \frac{16x^2 - 144}{9} \implies y = \pm \frac{4}{3}\sqrt{x^2 - 9}.
$$Como a hipérbole abre para
, o intervalo de integração em
é de
até
.
Passo 3
A cada posição
o lado do triângulo equilátero vale o comprimento do segmento em
, isto é
$$s(x) = 2\cdot \frac{4}{3}\sqrt{x^2 - 9} = \frac{8}{3}\sqrt{x^2 - 9}.
$$
Passo 4
A área do triângulo equilátero de lado
é
. Logo, em função de
:
$$A(x) = \frac{\sqrt3}{4}\Bigl(\frac{8}{3}\sqrt{x^2 - 9}\Bigr)^2 = \frac{16\sqrt3}{9},(x^2 - 9).
$$
Passo 5
O volume é a integral de
de
até
:
Calculando:
Logo
$$V = \frac{16\sqrt3}{9}\cdot 36 = 64\sqrt3.
$$