Prove que:
sumn=1^+infty 14 n^2-1=12

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que sumn=1^infty 14n^2-1 = 12. O conteúdo envolve séries infinitas e telescópicas e vamos precisar usar decomposição em frações parciais e o conceito de série telescópica.

Passo 2

Observamos que 4n^2 -1 = (2n-1)(2n+1). Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1), temos
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Igualando coeficientes de n e termos constantes, obtemos 2A+2B=0 e A - B=1, de onde A=tfrac12 e B=-tfrac12. Logo
14n^2-1 = 12l( 12n-1 - 12n+1r)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N 14n^2-1
Substituindo a decomposição, temos
SN = 12 sumn=1^N l( 12n-1 - 12n+1 r)
Escrevendo os primeiros termos, vemos a telescopia:
SN = 12 l( (tfrac11 - tfrac13) + (tfrac13 - tfrac15) + cdots + (tfrac12N-1 - tfrac12N+1) r),
operações que se cancelam sucessivamente.

Passo 4

Observando o cancelamento de todos os termos internos, sobra apenas
SN = 12 l( 1 - 12N+1 r)
Fazendo N to infty, o termo 1/(2N+1) tende a zero, logo
sumn=1^infty 14n^2-1 = limNtoinfty SN = 12

Resposta

tfrac12

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