Prove que:
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que
. O conteúdo envolve séries infinitas e telescópicas e vamos precisar usar decomposição em frações parciais e o conceito de série telescópica.
Passo 2
Observamos que
. Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, temos
Igualando coeficientes de
e termos constantes, obtemos
e
, de onde
e
. Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Substituindo a decomposição, temos
Escrevendo os primeiros termos, vemos a telescopia:
operações que se cancelam sucessivamente.
Passo 4
Observando o cancelamento de todos os termos internos, sobra apenas
Fazendo
, o termo
tende a zero, logo