Determine o volume do sólido limitado pelos dois cilindros de equações x^2+y^2=R^2 e y^2+z^2=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em
R^3 limitado pelos cilindros x^2+y^2=R^2 e y^2+z^2=R^2. O conteúdo aqui é integração em fatias (método dos discos/seções), e vamos precisar montar uma integral dupla/tripa usando seções transversais paralelas ao plano xz.

Passo 2

Para um valor fixo de y, o ponto (x,z) pertence ao sólido se satisfizer simultaneamente
x^2 + y^2 <= R^2
e
y^2 + z^2 <= R^2
Isso implica
x in [-raizR^2 - y^2,;raizR^2 - y^2]
e
z in [-raizR^2 - y^2,;raizR^2 - y^2]
Como as variáveis independem nessas desigualdades, a seção em xz é um retângulo de lados 2raizR^2 - y^2 em x e 2raizR^2 - y^2 em z.

Passo 3

A área dessa seção transversal em função de y é
A(y) = l(2raizR^2 - y^2r) cdot l(2raizR^2 - y^2r) = 4,(R^2 - y^2)
Como y varia de -R a +R, o volume é
V = integraly=-R^R A(y),dy = integral-R^R 4,(R^2 - y^2),dy

Passo 4

Basta calcular a integral:
V = 4 integral-R^R (R^2 - y^2),dy = 4 l[R^2 y - y^33r]-R^R
Substituindo os limites:
R^2( R) - R^33 - l(R^2(-R) - (-R)^33r) = l(R^3 - tfracR^33r) - l(-R^3 + tfracR^33r) = tfrac2R^33 + tfrac2R^33 = tfrac4R^33
Multiplicando por 4 dá
V = 4 cdot 4R^33 = 16R^33

Resposta

V = dfrac16,R^33.

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