Determine o comprimento da espiral logarítmica r=e^theta2 de theta=0 a theta=2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da espiral logarítmica definida por r=e^theta/2 no intervalo theta=0 a theta=2. Esse é um problema de comprimento de curva em coordenadas polares. A fórmula que vamos usar é
L=integrala^braizr^2+l(tfracdrdthetar)^2,dtheta
com a=0 e b=2.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada dr/dtheta. Como r=e^theta/2, temos
drdtheta=12e^theta/2= r2
Então o integrando fica
raizr^2+l( r2r)^2=raiz54,r^2=raiz52,r

Passo 3

Substituindo em L:
L=integral0^2raiz52e^theta/2,dtheta =raiz52integral0^2e^theta/2,dtheta
Fazendo a integral:
integral e^theta/2,dtheta=2e^theta/2
logo
L=raiz52l[2e^theta/2r]0^2=raiz5l(e^1-e^0r)=raiz5,(e-1)

Resposta

(e-1)raiz5

Exercícios relacionados