Com base na teoria estudada em sala, responda:
c) A aceleração é um vetor necessariamente tangente a que curva? (1 ponto)
Passo 1
O enunciado pergunta: “A aceleração é um vetor necessariamente tangente a que curva?” (1 ponto).
Informações dadas (implícitas no enunciado): tenho um corpo cuja posição no espaço é dada por um vetor função do tempo \mathbf{r}(t). A velocidade é \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} e a aceleração é \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}. A pergunta quer saber a que curva (se houver uma) o vetor aceleração é necessariamente tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “tangente a uma curva” de um jeito bem concreto. Se uma curva no espaço é dada por \mathbf{r}(t), então o vetor \dfrac{d\mathbf{r}}{dt} aponta na direção tangente à curva naquele ponto — é o vetor velocidade \mathbf{v}(t). Ou seja, a velocidade é sempre tangente à trajetória (a curva espacial que o corpo descreve).
Passo 3
Definições úteis e notação (explico cada símbolo): \mathbf{r}(t) = vetor posição (curva no espaço), \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} = vetor velocidade, \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} = vetor aceleração, v(t)=\|\mathbf{v}(t)\| = módulo da velocidade.
Agora mostramos como decompor \mathbf{a} em partes que têm significado geométrico.
Passo 4
Defino o versor tangente unitário
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)}.
Isso faz sentido sempre que v(t)\neq 0. Como \mathbf{v}(t)=v(t)\mathbf{T}(t), derivando em relação ao tempo:
onde \dot v=\dfrac{dv}{dt} e \dot{\mathbf{T}}=\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}.
Passo 5
Propriedade importante: \dot{\mathbf{T}} é perpendicular a \mathbf{T}. Isso decorre de \mathbf{T}\cdot\mathbf{T}=1. Derivando essa igualdade temos 2\mathbf{T}\cdot\dot{\mathbf{T}}=0, logo \mathbf{T}\perp\dot{\mathbf{T}}. Assim a decomposição da aceleração fica clara em duas partes ortogonais:
A primeira parcela \dot v\,\mathbf{T} é paralela ao vetor velocidade (portanto tangente à trajetória). A segunda parcela é perpendicular à velocidade (portanto normal à trajetória) e está ligada à curvatura da trajetória.
Passo 6
Interpretando: a aceleração, em geral, NÃO é necessariamente tangente à trajetória \mathbf{r}(t), porque pode ter uma componente normal. Só é totalmente tangente se a componente normal for zero, isto é, se \dot{\mathbf{T}}=0 (trajetória em linha reta) — ou, em outras palavras, quando a direção da velocidade não muda, qualquer aceleração ficará na direção da velocidade. Por outro lado, há movimentos em que a aceleração é puramente normal — por exemplo, movimento circular uniforme: \dot v=0 e \mathbf{a} é perpendicular à trajetória (centro da curva).
Passo 7
Um detalhe complementar (útil para decorar e aplicar na prova): como \dot{\mathbf{T}} está relacionado à curvatura \kappa e ao versor normal \mathbf{N}, costuma-se escrever
onde \rho=1/\kappa é o raio de curvatura e \mathbf{N} é o versor normal. Aqui \dot v\,\mathbf{T} é a componente tangencial (muda a velocidade escalar) e \dfrac{v^2}{\rho}\mathbf{N} é a componente normal (altera a direção).
Passo 8
Exemplos para fixar (bem práticos):
Movimento em linha reta com x(t)=t^{2}: \mathbf{v}=(2t,0), \mathbf{a}=(2,0). Aqui \mathbf{a} é paralelo a \mathbf{v}: aceleração totalmente tangencial à trajetória.
Movimento circular com velocidade constante v: \dot v=0, \mathbf{a} aponta para o centro (normal), não é tangente à trajetória.
Esses exemplos mostram que a aceleração pode ser tangente, normal ou uma soma das duas.
Resposta
À curva descrita pelo vetor velocidade \mathbf{v}(t) (o hodógrafo).