O carro de move em linha reta com
. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do carro depois de 10segundos.
Passo 1
O enunciado dá a posição do carro em função do tempo pela fórmula
.
Perguntas que precisamos responder: encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do carro depois de segundos (ou seja, calcular
,
e
).
Informações relevantes dadas: a função posição e o instante
.
Perguntas que precisamos responder: encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do carro depois de
Informações relevantes dadas: a função posição
Passo 2
Calcular a posição em
usando a própria expressão de
. Primeiro calculo potências de
:
e
. Agora substituo em
:
Faço as multiplicações passo a passo:
Somando:
Passo 3
Explicar o que é velocidade e como obtê-la: a velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é,
. A regra básica que vamos usar é a regra da potência: para qualquer expoente inteiro
,
Também usamos que derivada de uma soma é soma das derivadas e que constantes multiplicativas saem na frente da derivada. Aplicando isso a
:
Passo 4
Derivo termo a termo:
Portanto a velocidade é
Passo 5
Calcular a velocidade em
. Primeiro lembro que
. Substituo em
:
Passo 6
Explicar o que é aceleração e como obtê-la: a aceleração instantânea
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou equivalentemente a segunda derivada da posição, isto é,
. Vou derivar
usando novamente a regra da potência.
Passo 7
Derivando
termo a termo:
Portanto a aceleração é
Passo 8
Calcular a aceleração em
. Substituo
em
:
Passo 9
Pequeno cheque de consistência:
é positivo,
positivo e grande (o polinômio cresce rápido), e
também positivo — tudo consistente entre si (posição, velocidade e aceleração positivos).