O carro de move em linha reta com \mathrm{s}=\left(3 \mathrm{t}^{3}+3 \mathrm{t}^{2}\right) \mathrm{ft}. Determine a posição, a velocidade e a aceleração do carro depois de 10segundos.

Passo 1

O enunciado dá a posição do carro em função do tempo pela fórmula \displaystyle s(t)=\bigl(3t^{3}+3t^{2}\bigr)\\ \text{ft}.
Perguntas que precisamos responder: encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do carro depois de 10 segundos (ou seja, calcular s(10), v(10) e a(10)).
Informações relevantes dadas: a função posição \displaystyle s(t)=3t^{3}+3t^{2} e o instante t=10\\ \text{s}.

Passo 2

Calcular a posição em t=10 usando a própria expressão de s(t). Primeiro calculo potências de t: \displaystyle t^{2}=10^{2}=100 e \displaystyle t^{3}=10^{3}=1000. Agora substituo em \displaystyle s(t):
s(10)=3\cdot 10^{3}+3\cdot 10^{2}.
Faço as multiplicações passo a passo:
3\cdot 10^{3}=3\cdot 1000=3000,
3\cdot 10^{2}=3\cdot 100=300.
Somando:
s(10)=3000+300=3300\\ \text{ft}.

Passo 3

Explicar o que é velocidade e como obtê-la: a velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é, \displaystyle v(t)=\frac{ds}{dt}. A regra básica que vamos usar é a regra da potência: para qualquer expoente inteiro n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}.
Também usamos que derivada de uma soma é soma das derivadas e que constantes multiplicativas saem na frente da derivada. Aplicando isso a \displaystyle s(t)=3t^{3}+3t^{2}:

Passo 4

Derivo termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3\cdot(3t^{2})=9t^{2},
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=3\cdot(2t)=6t.
Portanto a velocidade é
v(t)=9t^{2}+6t\quad\text{(unidade: ft/s)}.

Passo 5

Calcular a velocidade em t=10. Primeiro lembro que 10^{2}=100. Substituo em v(t):
v(10)=9\cdot 10^{2}+6\cdot 10=9\cdot 100+60=900+60=960\\ \text{ft/s}.

Passo 6

Explicar o que é aceleração e como obtê-la: a aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou equivalentemente a segunda derivada da posição, isto é, \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}. Vou derivar v(t)=9t^{2}+6t usando novamente a regra da potência.

Passo 7

Derivando v(t) termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(9t^{2}\bigr)=9\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=9\cdot(2t)=18t,
\frac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)=6\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=6\cdot 1=6.
Portanto a aceleração é
a(t)=18t+6\quad\text{(unidade: ft/s}^{2}\text{)}.

Passo 8

Calcular a aceleração em t=10. Substituo t=10 em a(t):
a(10)=18\cdot 10+6=180+6=186\\ \text{ft/s}^{2}.

Passo 9

Pequeno cheque de consistência: s(10)=3300\\ \text{ft} é positivo, v(10)=960\\ \text{ft/s} positivo e grande (o polinômio cresce rápido), e a(10)=186\\ \text{ft/s}^{2} também positivo — tudo consistente entre si (posição, velocidade e aceleração positivos).

Resposta

\displaystyle s(10)=3300\\ \text{ft}
\displaystyle v(10)=960\\ \text{ft/s}
\displaystyle a(10)=186\\ \text{ft/s}^{2}

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