A base de um triângulo isósceles é 10. Expresse sua área A como função do ângulo do vértice theta.

Passo 1

O problema pede a área de um triângulo isósceles de base 10 em função do ângulo do vértice θ. Vamos usar trigonometria básica e a fórmula da área de um triângulo para expressar A(θ).

Passo 2

Considere o triângulo isósceles com base b=10, lados iguais de comprimento L e ângulo do vértice θ. Ao traçar a altura h a partir do vértice, ela divide a base ao meio, criando dois triângulos retângulos com cateto adjacente h e cateto oposto igual a 5.

Passo 3

Em cada triângulo reto vale a relação entre seno e o cateto oposto:
5 = L sinl(tfractheta2r)
Logo,
L = 5sin(theta/2)

Passo 4

A altura h é o cateto adjacente ao ângulo theta/2 nesses triângulos, então
h = L cosl(tfractheta2r) = 5sin(theta/2)cosl(tfractheta2r) = 5cotl(tfractheta2r)
A área de um triângulo é dada por
A = 12 b,h
Substituindo b=10 e h=5cot(theta/2):
A = 12cdot 10 cdot 5cotl(tfractheta2r) = 25cotl(tfractheta2r)

Passo 5

A expressão final para a área em função de θ é
A(theta) = 25cotl(tfractheta2r), 0

Resposta

A(\theta)=25\cot\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)

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