Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime+t y^prime-y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=1,
Dica para a letra ©: Em EDO’s de primeira ordem do tipo y^prime+p(t) y=q(t)
podemos usar um fator integrante mu(t)=exp integral p(t) d t ldots

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial: y'' + t,y' - y = 0 com y(0)=0 e y'(0)=1 usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é aplicar propriedades de transformada de Laplace, em particular Lt f(t) = -ddsF(s), e depois resolver a equação resultante em Y(s).

Passo 2

Tomamos transformada de Laplace em ambos os lados de y'' + t,y' - y = 0. Usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1 e as fórmulas Ly'' = s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Lt y' = -dds[sY(s)-y(0)], obtemos
s^2Y(s)-1 ;+ l(-Y(s) - sY'(s)r) ;- Y(s) = 0
que se reorganiza em
s,Y'(s) + (2 - s^2),Y(s) = -1

Passo 3

Trata-se de uma EDO de primeira ordem em Y(s). O fator integrante é
$$\mu(s) = \exp\Bigl(\int\frac{2 - s^2}{s},ds\Bigr) = s^2 e{-s2/2}.
mu(s) = expl(integral2 - s^2s,dsr) = s^2 e^-s^2/2 \frac{d}{ds}\bigl(\mu(s)Y(s)\bigr) = -s e{-s2/2},
ddsl(mu(s)Y(s)r) = -s e^-s^2/2, \mu(s)Y(s) = e{-s2/2} + C \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1 + C e{s2/2}}{s^2}.
mu(s)Y(s) = e^-s^2/2 + C Longrightarrow Y(s) = 1 + C e^s^2/2s^2 çãíY(s) = \frac{1}{s^2}.
Y(s)y(t) = t.
$$

Resposta

y(t)=t

Exercícios relacionados