(a) Como lim t 0 f(t)t, calcule .
(b) Como , (desde que exista ), calcule .

Passo 1

O enunciado pede para usar duas propriedades da transformada de Laplace—derivação em s e integração em s—para calcular Ltsin t e Lsin t/t. Para isso, vamos precisar da transformada de Laplace de sin t, que é F(s)=1/(s^2+1).

Passo 2

Começamos lembrando que
F(s)=Lsin t=integral0^+inftysin t,e^-stdt=1s^2+1, s>0

Passo 3

Para calcular Ltsin t, usamos a propriedade
Lt f(t)=-F'(s)

Passo 4

Derivando F(s)=1/(s^2+1) em relação a s:
F'(s)=ddsl(1s^2+1r)=-2s(s^2+1)^2

Passo 5

Logo,
Ltsin t=-F'(s)=2s(s^2+1)^2

Passo 6

Para calcular Lsin t/t, usamos a propriedade
Lf(t)/t=integrals^+inftyF(sigma)dsigma

Passo 7

Assim,
Ltfracsin tt=integrals^+infty1sigma^2+1dsigma=l[arctan(sigma)r]s^+infty=pi2-arctan(s)

Resposta

(a) 2s(s^2+1)^2; (b) pi2-arctan(s).

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