Com base no último censo realizado no ano 5 de 2022 , sabe-se que a altura média dos brasileiros adultos é igual a 1,73 metro. No ano de 2025 , uma amostra de
adultos foi coletada, na qual forneceu uma média amostral igual a 1,7 metro e um desvio-padrăo igual a 0,2 metro. Assumindo que a altura dos brasileiros segue uma distribuição normal, pode-se dizer que a altura média dos brasileiros mudou?
Realize um teste de hipóteses a um nível de significância de
para testar essa afirmação.
Obs: escreva as hipóteses do teste, a estatística de teste utilizada, a rejeição de rejeição e a conclusão.
Realize um teste de hipóteses a um nível de significância de
Obs: escreva as hipóteses do teste, a estatística de teste utilizada, a rejeição de rejeição e a conclusão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a altura média dos brasileiros adultos. Em 2022, o censo mostrou que essa média era de 1,73 metro. Agora, em 2025, foram medidos alguns adultos e a média amostral foi de 1,7 metro, com um desvio-padrão de 0,2 metro. A pergunta é: será que a altura média mudou? Para descobrir isso, vamos fazer um teste de hipóteses usando estatística inferencial, assumindo que a altura segue uma distribuição normal. Precisamos definir as hipóteses, escolher a estatística de teste, determinar a região de rejeição e concluir com base nos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. Como queremos saber se a altura média mudou, estamos fazendo um teste bilateral.
-
Hipótese nula (
): A altura média continua a ser 1,73 metro. -
Hipótese alternativa (
): A altura média mudou, ou seja, é diferente de 1,73 metro.
Passo 3
Agora, vamos escolher a estatística de teste. Como conhecemos o desvio-padrão e a distribuição é normal, podemos usar o teste z. A fórmula do teste z é:
Onde:
-
é a média amostral (1,7 m), -
é a média populacional sob a hipótese nula (1,73 m), -
é o desvio-padrão (0,2 m), -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos determinar a região de rejeição. O nível de significância é de 5%, então dividimos isso para um teste bilateral:
- Área de 2,5% em cada cauda da distribuição normal.
Os valores críticos para um teste bilateral com
são aproximadamente
. Se o valor calculado de z estiver além desses valores (ou seja, menor que -1,96 ou maior que 1,96), rejeitamos a hipótese nula.
Passo 5
Vamos calcular o valor de z. Para isso, precisamos saber o tamanho da amostra (
). Como não foi fornecido, vamos assumir que
é suficientemente grande para que o cálculo faça sentido. Vamos supor, por exemplo, que
.
Passo 6
Com o valor de z aproximadamente -0,82, vamos comparar com os valores críticos de -1,96 e 1,96. Como -0,82 está dentro desse intervalo, não está na região de rejeição.
Resposta
Como o valor calculado de z (-0,82) está dentro da região de aceitação (-1,96 a 1,96), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que a altura média dos brasileiros adultos mudou.