Base de un subespacio. En \mathbb{R}^{3}, consideremos el subespacio S= plano X Y. Veamos que los vectores (3,2,0),(1,-1,0) forman una base de S .
  • Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
  • Son un sistema generador de S : Dado un vector genérico de S , de la forma ( \mathrm{a}, \mathrm{b}, 0 ), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0) y (1,-1,0). Para ello, buscamos \alpha, \beta que cumplan:
\left.(\mathrm{a}, \mathrm{~b}, 0)=\alpha(3,2,0)+\beta(1,-1,0) \quad \rightarrow \quad \begin{array}{r} 3 \alpha+\beta=\mathrm{a} \\\\ 2 \alpha-\beta=\mathrm{b} \end{array}\right\} \quad \text { S. C. D. para cualesquiera a,b. }

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o subespaço S\subset\mathbb{R}^3 que é o plano XY. Isto significa que os vetores de S têm a forma (a,b,0) com a,b\in\mathbb{R}.
  • São dados os dois vetores v_1=(3,2,0) e v_2=(1,-1,0).
  • O enunciado pede: mostrar que v_1 e v_2 formam uma base de S. Ou seja, provar duas coisas:
    1. Que v_1 e v_2 são linearmente independentes.
    2. Que v_1 e v_2 geram S (qualquer (a,b,0) é combinação linear deles).

Passo 2

Lembrete didático: definições importantes (explicadas de forma simples).
  • Conjunto gerador (spanning): dizemos que \{v_1,v_2\} gera S se, para todo vetor genérico w\in S escrito como w=(a,b,0), existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
w=\alpha v_1+\beta v_2.
  • Independência linear: vetores v_1,v_2 são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_1 v_1 + c_2 v_2 = (0,0,0)
é c_1=c_2=0. Em outras palavras, nenhuma combinação linear não trivial deles dá o vetor nulo.
  • Base: um conjunto é base de S se é linearmente independente e gera S.

Passo 3

Verificação rápida: ambos os vetores realmente pertencem a S, porque têm terceira coordenada zero:
v_1=(3,2,0)\in S,\qquad v_2=(1,-1,0)\in S.
Isso é necessário: uma base de S tem que consistir de vetores que estejam em S.

Passo 4

Provar independência linear resolvendo c_1 v_1 + c_2 v_2 = (0,0,0)\). Escrevendo componente a componente temos o sistema \[\begin{cases} 3c_1 + c_2 = 0,\\[4pt] 2c_1 - c_2 = 0,\\[4pt] 0\cdot c_1 + 0\cdot c_2 = 0. \end{cases}
(Última equação é 0=0\] e não traz informação nova.) Somando as duas primeiras equações para eliminar \(c_2:
(3c_1+c_2)+(2c_1-c_2)=0+0 \quad\Rightarrow\quad 5c_1=0.
Logo
c_1=0.
Substituindo em 3c_1+c_2=0 obtém-se
3\cdot 0 + c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2=0.
Portanto a única solução é c_1=c_2=0, isto é, v_1 e v_2 são linearmente independentes.]

Passo 5

Provar que geram S\): tomar um vetor genérico de \(S\), \(w=(a,b,0)\), e buscar \(\alpha,\beta\) tais que \[(a,b,0)=\alpha(3,2,0)+\beta(1,-1,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema lineal para \alpha,\beta:
\begin{cases} 3\alpha+\beta = a,\\[4pt] 2\alpha-\beta = b. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar \beta\]: \[(3\alpha+\beta)+(2\alpha-\beta)=a+b \quad\Rightarrow\quad 5\alpha = a+b.\] Logo \[\alpha=\dfrac{a+b}{5}.\] Agora substituímos em, por exemplo, \(3\alpha+\beta=a para achar \beta:
\beta = a-3\alpha = a-3\cdot\dfrac{a+b}{5} = \dfrac{5a-3a-3b}{5} = \dfrac{2a-3b}{5}.
Assim para qualquer a,b as soluções \alpha=\dfrac{a+b}{5} e \beta=\dfrac{2a-3b}{5} existem e satisfazem as equações, logo qualquer w=(a,b,0) é combinação linear de v_1 e v_2. Portanto \{v_1,v_2\} gera S.]

Passo 6

Conclusão final lógica (didática): mostrámos que
  • \{v_1,v_2\} é linearmente independente (Passo 4), e
  • \{v_1,v_2\} gera S (Passo 5).
    Pelo que foi dado na definição de base, isso basta para concluir que \{v_1,v_2\} é uma base de S. Nota adicional útil: S é um plano (dimensão 2), e temos exatamente 2 vetores independentes, o que é consistente.

Resposta

Os vetores (3,2,0) e (1,-1,0) formam uma base de S.

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