La base canónica de
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de
porque todo vector
se puede expresar como combinación lineal de ellos:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá os vetores canónicos de
: - Pergunta implicitamente para provar que esses vetores formam uma base de
. Ou seja, precisa ser mostrado: - Que os vetores são linearmente independentes.
- Que eles geram (span) todo
.
Passo 2
Lembrete didático (definições importantes, explicadas simples):
- Uma família de vetores é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero. Em símbolos: vetores
são independentes se implica que . - Dizemos que os vetores geram
(ou formam um sistema gerador) se todo vetor pode ser escrito como combinação linear deles, isto é, existem coeficientes tais que - Uma base é uma família de vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e geradora.
Vou usar métodos bem elementares (componentes coordenada a coordenada), porque são os mais diretos e os que funcionam sem cálculo de determinantes.
Passo 3
Prova da independência linear — ideia e preparação:
- Para mostrar independência, tomo uma combinação linear arbitrária dos vetores canónicos e imponho que seja o vetor nulo. Vou mostrar que cada coeficiente tem de ser zero, olhando coordenada a coordenada.
Passo 4
Prova da independência linear — cálculo detalhado:
- Considere coeficientes
tais que onde é o vetor nulo . - Escrevendo componente a componente (ou seja, olhando a primeira coordenada, a segunda, etc.), note que a soma na primeira coordenada é exatamente
porque só tem 1 na primeira coordenada e todos os outros têm 0 ali. Como o vetor soma é o vetor nulo, a primeira coordenada é , logo - O mesmo raciocínio na segunda coordenada dá
, e assim por diante. Para a -ésima coordenada, apenas contribui com , então - Concluímos que a única combinação linear que dá zero é com todos os coeficientes nulos. Portanto,
são linearmente independentes.
Passo 5
Prova que geram
— ideia e preparação:
- Para mostrar que geram, pego um vetor arbitrário
e mostro explicitamente como escrevê-lo como combinação linear dos .
Passo 6
Prova que geram
— cálculo detalhado:
- Seja um vetor arbitrário
- Observe que a combinação
tem, na -ésima coordenada, exatamente o valor (porque fornece 1 nessa coordenada e os outros fornecem 0). Logo essa combinação é igual a : - Assim, qualquer vetor de
é combinação linear dos . Portanto os vetores geram .
Passo 7
Observações extras (úteis para prova na prova e intuição):
- Da independência e do fato de gerarem segue que
formam uma base de . - Além disso, a escrita do vetor
como é única — essa unicidade é consequência da independência linear (se houvesse duas representações, a diferença seria uma combinação linear nula não-trivial). - Outro caminho (mais curto para quem já viu matrizes) é observar que a matriz cujas colunas são
é a matriz identidade , que tem determinante ; colunas de uma matriz com determinante não nulo são linearmente independentes e, sendo vetores em , também formam uma base. Usei o método das coordenadas por ser mais elementar e direto.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes e geram
; portanto formam uma base canónica de
.