La base canónica de \mathbb{R}^{n \text { : }}
\begin{aligned} & \mathrm{e}_{1}=(1,0, \ldots, 0) \\\ & \mathrm{e}_{2}=(0,1, \ldots, 0) \\\ & \ldots \ldots \\\ & \mathrm{e}_{\mathrm{n}}=(0,0, \ldots, 1) \end{aligned}
  • Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
  • Son sistema generador de \mathbb{R}^{n} porque todo vector \left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} se puede expresar como combinación lineal de ellos:
\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=a_{1}(1,0, \ldots, 0)+a_{2}(0,1, \ldots, 0)+\ldots+a_{n}(0,0, \ldots, 1)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá os vetores canónicos de \mathbb{R}^n: \mathrm{e}_{1}=(1,0,\ldots,0),\quad \mathrm{e}_{2}=(0,1,\ldots,0),\quad \ldots,\quad \mathrm{e}_{n}=(0,0,\ldots,1).
  • Pergunta implicitamente para provar que esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^n. Ou seja, precisa ser mostrado:
    1. Que os vetores são linearmente independentes.
    2. Que eles geram (span) todo \mathbb{R}^n.

Passo 2

Lembrete didático (definições importantes, explicadas simples):
  • Uma família de vetores é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero. Em símbolos: vetores v_1,\dots,v_n são independentes se c_1 v_1+\cdots+c_n v_n=0implica que c_1=\cdots=c_n=0.
  • Dizemos que os vetores geram \mathbb{R}^n (ou formam um sistema gerador) se todo vetor w\in\mathbb{R}^n pode ser escrito como combinação linear deles, isto é, existem coeficientes a_1,\dots,a_n tais que w=a_1 v_1+\cdots+a_n v_n.
  • Uma base é uma família de vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e geradora.
Vou usar métodos bem elementares (componentes coordenada a coordenada), porque são os mais diretos e os que funcionam sem cálculo de determinantes.

Passo 3

Prova da independência linear — ideia e preparação:
  • Para mostrar independência, tomo uma combinação linear arbitrária dos vetores canónicos e imponho que seja o vetor nulo. Vou mostrar que cada coeficiente tem de ser zero, olhando coordenada a coordenada.

Passo 4

Prova da independência linear — cálculo detalhado:
  • Considere coeficientes c_1,\dots,c_n\in\mathbb{R} tais que c_1\mathrm{e}_1+c_2\mathrm{e}_2+\cdots+c_n\mathrm{e}_n=0,onde 0 é o vetor nulo (0,0,\ldots,0).
  • Escrevendo componente a componente (ou seja, olhando a primeira coordenada, a segunda, etc.), note que a soma na primeira coordenada é exatamente c_1 porque só \mathrm{e}_1 tem 1 na primeira coordenada e todos os outros \mathrm{e}_j têm 0 ali. Como o vetor soma é o vetor nulo, a primeira coordenada é 0, logo c_1=0.
  • O mesmo raciocínio na segunda coordenada dá c_2=0, e assim por diante. Para a k-ésima coordenada, apenas \mathrm{e}_k contribui com c_k, então c_k=0\quad\text{para todo }k=1,\dots,n.
  • Concluímos que a única combinação linear que dá zero é com todos os coeficientes nulos. Portanto, \mathrm{e}_1,\dots,\mathrm{e}_n são linearmente independentes.

Passo 5

Prova que geram \mathbb{R}^n — ideia e preparação:
  • Para mostrar que geram, pego um vetor arbitrário v\in\mathbb{R}^n e mostro explicitamente como escrevê-lo como combinação linear dos \mathrm{e}_i.

Passo 6

Prova que geram \mathbb{R}^n — cálculo detalhado:
  • Seja um vetor arbitrário v=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n.
  • Observe que a combinação a_1\mathrm{e}_1+a_2\mathrm{e}_2+\cdots+a_n\mathrm{e}_ntem, na k-ésima coordenada, exatamente o valor a_k (porque \mathrm{e}_k fornece 1 nessa coordenada e os outros fornecem 0). Logo essa combinação é igual a v: v=a_1\mathrm{e}_1+a_2\mathrm{e}_2+\cdots+a_n\mathrm{e}_n.
  • Assim, qualquer vetor de \mathbb{R}^n é combinação linear dos \mathrm{e}_i. Portanto os vetores geram \mathbb{R}^n.

Passo 7

Observações extras (úteis para prova na prova e intuição):
  • Da independência e do fato de gerarem segue que \mathrm{e}_1,\dots,\mathrm{e}_n formam uma base de \mathbb{R}^n.
  • Além disso, a escrita do vetor v=(a_1,\dots,a_n) como a_1\mathrm{e}_1+\cdots+a_n\mathrm{e}_n é única — essa unicidade é consequência da independência linear (se houvesse duas representações, a diferença seria uma combinação linear nula não-trivial).
  • Outro caminho (mais curto para quem já viu matrizes) é observar que a matriz cujas colunas são \mathrm{e}_1,\dots,\mathrm{e}_n é a matriz identidade I_n, que tem determinante 1\neq 0; colunas de uma matriz com determinante não nulo são linearmente independentes e, sendo n vetores em \mathbb{R}^n, também formam uma base. Usei o método das coordenadas por ser mais elementar e direto.

Resposta

Os vetores \mathrm{e}_1,\ldots,\mathrm{e}_n são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^n; portanto formam uma base canónica de \mathbb{R}^n.

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