Com base no que você sabe da relação entre derivadas e taxas de variação, faça as correspondências corretas:
\begin{tabular}{llcll}
reta tangente como " / " \quad \square & \square & f(t) constante & \square & \square \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} t}>0 \
reta tangente como “/” \quad \square & \square & f(t) decrescente & \square & \square \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} t}<0 \
reta tangente horizontal \quad \square & \square & f(t) crescente & \square & \square \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} t}=0

Passo 1

O enunciado pede associar cada tipo de reta tangente (inclinação positiva “/”, inclinação negativa “\” e reta horizontal) ao comportamento de f(t) (crescente, decrescente ou constante) e ao sinal da derivada \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}. Vamos usar o fato de que a derivada num ponto é justamente a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.

Passo 2

Reta tangente inclinada positivamente ("/")
Uma inclinação positiva significa
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} > 0
e, portanto, a função está aumentando (crescente).

Passo 3

Reta tangente inclinada negativamente ("\")
Uma inclinação negativa significa
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} < 0
e, portanto, a função está diminuindo (decrescente).

Passo 4

Reta tangente horizontal
Uma inclinação zero significa
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = 0
e, portanto, a função mantém valor constante.

Resposta

reta tangente “/” → f(t) crescente → \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}>0
reta tangente “\” → f(t) decrescente → \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}<0
reta tangente horizontal → f(t) constante → \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=0

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