Um carro está parado num semáforo e, quando este se abre, parte do repouso com aceleração 1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Nesse mesmo instante, um caminhão, a velocidade de 30,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, ultrapassa o carro, mantendo sua velocidade constante. Ambos seguem trajetos retilíneos no mesmo sentido.
a. Após quanto tempo, a partir do instante em que o semáforo abre, o carro alcança o caminhão?
b. A que distância do semáforo o carro alcança o caminhão?
c. Qual o módulo da velocidade do carro em relação ao caminhão no instante em que este o alcança (i.e. no instante em que carro e caminhão estão na mesma posição)?
d. Suponha que, no exato instante em que o carro alcança o caminhão, ambos freiem com a mesma aceleração, de módulo 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, até pararem e assim permanecerem. Qual será a distância entre os veículos quando ambos estiverem em repouso?

Passo 1

O enunciado diz que o carro parte do repouso com aceleração a=1,20\\ \mathrm{m/s^2} no instante em que o caminhão, com velocidade constante 30,0\\ \mathrm{km/h}, passa por ele (no semáforo). Ambos seguem no mesmo sentido. Precisamos usar cinemática unidimensional (MRUV para o carro e MRU para o caminhão) para achar:
a. o tempo de ultrapassagem,
b. a posição desse encontro,
c. a velocidade relativa no instante do encontro,
d. a separação final se, a partir daí, ambos frearem com aceleração de módulo 2,5\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Escrevemos as equações de posição em função do tempo t:
x_c(t)=\tfrac12\,a\,t^2
x_t(t)=v_t\,t
onde v_t é a velocidade do caminhão, que vale
v_t = 30,0\\ \mathrm{km/h} = \frac{30,0\times1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 8,33\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O carro alcança o caminhão quando x_c(t)=x_t(t), isto é
\tfrac12\,a\,t^2 = v_t\,t.
Para t>0 podemos dividir por t e obter
\tfrac12\,a\,t = v_t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2\,v_t}{a} = \frac{2\times8,33}{1,20}\\ \mathrm{s} \approx 13,9\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A distância medida a partir do semáforo é
x = x_c(13,9) = \tfrac12\times1,20\times(13,9)^2\\ \mathrm{m} \approx 116\\ \mathrm{m}.

Passo 5

No instante do encontro, a velocidade do carro é
v_c = a\,t = 1,20\times13,9\\ \mathrm{m/s} \approx 16,7\\ \mathrm{m/s}.
O módulo da velocidade relativa (carro em relação ao caminhão) é
|v_{\rm rel}| = v_c - v_t \approx 16,7 - 8,33 = 8,33\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Ao frearem simultaneamente com desaceleração de módulo a_f=2,5\\ \mathrm{m/s^2}, as distâncias de frenagem desde v_c e v_t até zero são
d_c = \frac{v_c^2}{2\,a_f} = \frac{(16,7)^2}{2\times2,5}\\ \mathrm{m} \approx 55,6\\ \mathrm{m},
d_t = \frac{v_t^2}{2\,a_f} = \frac{(8,33)^2}{2\times2,5}\\ \mathrm{m} \approx 13,9\\ \mathrm{m}.
Como começam juntos, a separação final será
\Delta x = d_c - d_t \approx 55,6 - 13,9 = 41,7\\ \mathrm{m}.

Resposta

a. 13,9\\ \mathrm{s}
b. 116\\ \mathrm{m}
c. 8,33\\ \mathrm{m/s}
d. 41,7\\ \mathrm{m}

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