Exercício resolvido: Considere um corpo sujeito à aceleração gravitacional (desprezados quaisquer outros fatores além da gravidade) g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a. Escreva o tempo de queda de um corpo em função de g e da altura h de que o mesmo cai a partir do repouso.
b. Você fez um amigo alienígena, Bilu, e durante uma conversa ambos ficaram curiosos quanto à aceleração gravitacional na superfície de cada um dos planetas. Para resolver a curiosidade, vão comparar os tempos de queda de objetos a partir do repouso. Após estabelecerem uma mesma altura de queda, você diz a Bilu que o tempo de queda aqui na Terra é de 1.75 s . Ele então te diz que por lá o tempo de queda foi de \frac{1}{3600} wupi, quando você se diverte com a unidade de medida e lhe pergunta de onde vem e se ele sabe comparar com unidades de tempo terráqueas. Bilu diz que 1 wupi é o período de rotação do planeta dele e, buscando conhecimento, descobriu que este é aproximadamente 1 / 3 do período de rotação da Terra. Determine o valor da aceleração gravitacional g_{B} no planeta de Bilu.
\footnotetext{
“Apenas que… busquem conhecimento.” Bilu, E.T.

Passo 1

O enunciado trata da queda livre de um corpo a partir do repouso, sujeita apenas à aceleração da gravidade. O conteúdo envolvido é a cinemática unidimensional com aceleração constante. Para resolver, precisamos da relação entre tempo de queda t, altura h e aceleração gravitacional g, e depois comparar quedas em dois planetas para achar a gravidade no planeta de Bilu.

Passo 2

A equação da posição para um corpo lançado do repouso com aceleração constante é
h = \frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Isolando o tempo t em função de h e g, obtemos
t = \sqrt{\frac{2\,h}{g}}.

Passo 3

Como a altura h de queda é a mesma na Terra e no planeta de Bilu, escrevemos
h = \frac{1}{2}\,g_{\text{T}}\,t_{\text{T}}^{2} \quad\text{e}\quad h = \frac{1}{2}\,g_{B}\,t_{B}^{2}.
Igualando as duas expressões de h e cancelando o fator 1/2, vem
g_{\text{T}}\,t_{\text{T}}^{2} = g_{B}\,t_{B}^{2} \quad\Longrightarrow\quad g_{B} = g_{\text{T}}\;\biggl(\frac{t_{\text{T}}}{t_{B}}\biggr)^{2}.

Passo 4

Convertendo o tempo de queda no planeta de Bilu para segundos: Bilu mede t_{B} = \tfrac{1}{3600} wupi, onde
1\text{ wupi} = \tfrac{1}{3}\times(24\text{ h}) = \tfrac{1}{3}\times 86400\text{ s} = 28800\text{ s}.
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t_{B} = \frac{1}{3600}\times 28800\text{ s} = 8\text{ s}.

Passo 5

Sabemos que na Terra g_{\text{T}} = 9{,}8,m/ s^{2} e t_{\text{T}} = 1{,}75,s. Substituindo em
g_{B} = 9{,}8 \,\biggl(\frac{1{,}75}{8}\biggr)^{2}
calculamos
\biggl(\frac{1{,}75}{8}\biggr)^{2} = \frac{3{,}0625}{64} \approx 0{,}04785 \quad\Longrightarrow\quad g_{B} \approx 9{,}8 \times 0{,}04785 \approx 0{,}47\text{ m/s}^{2}.

Resposta

g_{B} \approx 0{,}47,m/ s^{2}

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