A oficina de manutenção de uma indústria pode atender até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue distribuição de Poisson de média 3 . Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que esperar até surgir uma vaga na oficina.
(13.1) Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas máquinas avariadas?
(13.2) Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (incluso) e 5 (incluso)
(13.3) Quantas vagas deve haver na oficina para que atenda todas as máquinas avariadas em 0,90 dos dias?

Passo 1

O enunciado diz que o número diário de avarias X segue distribuição de Poisson com média \lambda=3. A oficina consegue atender até 4 avarias, e queremos
  • (13.1) P(X>4),
  • (13.2) P(2\le X\le5),
  • (13.3) o menor n tal que P(X\le n)\ge0,90.
    Para isso usaremos a função massa de probabilidade da Poisson
P(X=x)=e^{-3}\,\frac{3^x}{x!},
e sua função de distribuição acumulada F(k)=P(X\le k)=\sum_{x=0}^k e^{-3}\frac{3^x}{x!}.

Passo 2

Para (13.1) calculamos
P(X>4)=1-P(X\le4) =1-\sum_{x=0}^4 e^{-3}\frac{3^x}{x!}.
Os termos são
\sum_{x=0}^4\frac{3^x}{x!} =1+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{6}+\frac{81}{24} =16{,}375,
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P(X\le4)=e^{-3}\times16{,}375\approx0{,}8157 \quad\implies\quad P(X>4)\approx1-0{,}8157=0{,}1843.

Passo 3

Para (13.2) usamos
P(2\le X\le5) =P(X\le5)-P(X\le1).
Já temos P(X\le4)=0{,}8157. Calculamos
P(X=5)=e^{-3}\frac{3^5}{5!} =e^{-3}\frac{243}{120}\approx0{,}1009
e
P(X\le5)=P(X\le4)+P(X=5)\approx0{,}8157+0{,}1009=0{,}9166.
Também
P(X\le1)=e^{-3}(1+3)=4e^{-3}\approx0{,}1991.
Portanto
P(2\le X\le5)\approx0{,}9166-0{,}1991=0{,}7175.

Passo 4

Para (13.3) queremos o menor n tal que
P(X\le n)\ge0{,}90.
Já vimos P(X\le4)\approx0{,}8157<0{,}90 e P(X\le5)\approx0{,}9166>0{,}90. Logo o menor n que satisfaz é n=5.

Resposta

(13.1) 0{,}1843
(13.2) 0{,}7175
(13.3) 5 vagas

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